У дорослому футболі починав грати за команди «Джерсі Експресс» та «Річмонд Кікерз».
Своєю грою за останню команду привернув увагу представників тренерського штабу клубу елітної північноамериканської ліги MLS«Нью-Інгленд Революшн», до складу якого приєднався 2017 року. Відіграв за команду з Массачусетса наступні п'ять сезонів своєї ігрової кар'єри. Більшість часу, проведеного у складі «Нью-Інгленд Революшн», був основним голкіпером команди.
Влітку 2022 року за 6 мільйонів євро перейшов до лондонського «Арсенала», з яким уклав чотирирічний контракт. В Англії став одним із дублерів Аарона Ремсдейла, отримуючи досвід офіційних ігор лише в матчах Ліги Європи УЄФА.
Був основним голкіпером збірної у розіграші Золотого кубка КОНКАКАФ 2021 року, де вона здобула черговий титул континентального чемпіона, а сам Тернер захищав її ворота в усіх шести іграх турніру, пропустивши в них лише один гол.