Модулярна лямбда-функція на комплексній площині.
У математиці модулярна лямбда-функція
λ
(
τ
)
{\displaystyle \lambda (\tau )}
[ 1] є сильно симетричною голоморфною функцією у верхній півплощині комплексної площини. Вона інваріантна відносно дробово-лінійної дії групи конгруенцій [en]
Γ
(
2
)
{\displaystyle \Gamma (2)}
і породжує поле функцій часткового упорядкування, тобто є головною модулярною функцією для модулярної кривої [en]
X
(
2
)
{\displaystyle X(2)}
.
У будь-якій точці
τ
{\displaystyle \tau }
її значення можна описати як подвійне відношення точок галуження розгалуженого подвійного накриття проективної лінії за допомогою еліптичної кривої
C
/
⟨
1
,
τ
⟩
{\displaystyle \mathbb {C} /\langle 1,\tau \rangle }
, де відображення визначається як відношення за інволюцією [−1].
q
{\displaystyle q}
-розклад, де
q
=
e
π
i
τ
{\displaystyle q={\rm {e}}^{\pi {\rm {i}}\tau }}
це ном [en] , визначається наступним чином:
λ
(
τ
)
=
16
q
−
128
q
2
+
704
q
3
−
3072
q
4
+
11488
q
5
−
38400
q
6
+
⋯
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda (\tau )=16q-128q^{2}+704q^{3}-3072q^{4}+11488q^{5}-38400q^{6}+\cdots .\end{aligned}}}
A115977
Симетризуючи лямбда-функцію відносно канонічної дії симетричної групи
S
3
{\displaystyle \operatorname {S} _{3}}
на
X
(
2
)
{\displaystyle X(2)}
, а потім відповідним чином нормалізуючи, можна отримати функцію у верхній півплощині, яка інваріантна відносно повної модулярної групи
SL
2
(
Z
)
{\displaystyle \operatorname {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}
, і це фактично модулярний
j
{\displaystyle j}
-інваріант Клейна.
A plot of x→ λ(ix)
Функція
λ
(
τ
)
{\displaystyle \lambda (\tau )}
є інваріантною відносно групи, породженої перетвореннями[ 2]
τ
↦
τ
+
2
,
τ
↦
τ
1
−
2
τ
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\tau \mapsto \tau +2,\quad \tau \mapsto {\frac {\tau }{1-2\tau }}.\end{aligned}}}
Генератори модулярної групи діють за правилом[ 3]
τ
↦
τ
+
1
:
λ
↦
λ
λ
−
1
,
τ
↦
−
1
τ
:
λ
↦
1
−
λ
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\tau \mapsto \tau +1\colon \ \lambda \mapsto {\frac {\lambda }{\lambda -1}},\\\tau \mapsto -{\frac {1}{\tau }}\colon \ \lambda \mapsto 1-\lambda .\end{aligned}}}
Отже, дія модулярної групи на функцію
λ
(
τ
)
{\displaystyle \lambda (\tau )}
є дією ангармонічної групи [en] , що визначає шість значень подвійного відношення :[ 4]
{
λ
,
1
1
−
λ
,
λ
−
1
λ
,
1
λ
,
λ
λ
−
1
,
1
−
λ
}
{\displaystyle {\begin{aligned}\left\lbrace \lambda ,{\frac {1}{1-\lambda }},{\frac {\lambda -1}{\lambda }},{\frac {1}{\lambda }},{\frac {\lambda }{\lambda -1}},1-\lambda \right\rbrace \end{aligned}}}
Модулярна лямбда-функція є квадратом еліптичного модуля,[ 5] тобто
λ
(
τ
)
=
k
2
(
τ
)
{\displaystyle \lambda (\tau )=k^{2}(\tau )}
.
У термінах ета функції Дедекінда [en]
η
{\displaystyle \eta }
і тета-функції модулярну лямбда-функцію можна представити як[ 5]
λ
(
τ
)
=
(
2
η
(
τ
2
)
η
2
(
2
τ
)
η
3
(
τ
)
)
8
=
16
(
η
(
τ
/
2
)
η
(
2
τ
)
)
8
+
16
=
θ
2
4
(
τ
)
θ
3
4
(
τ
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda (\tau )=\left({\frac {{\sqrt {2}}\eta {\big (}{\tfrac {\tau }{2}}{\big )}\eta ^{2}(2\tau )}{\eta ^{3}(\tau )}}\right)^{8}={\frac {16}{\left({\frac {\eta (\tau /2)}{\eta (2\tau )}}\right)^{8}+16}}={\frac {\theta _{2}^{4}(\tau )}{\theta _{3}^{4}(\tau )}}\end{aligned}}}
1
(
λ
(
τ
)
)
1
/
4
−
(
λ
(
τ
)
)
1
/
4
=
1
2
(
η
(
τ
4
)
η
(
τ
)
)
4
=
2
θ
4
2
(
τ
2
)
θ
2
2
(
τ
2
)
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{{\big (}\lambda (\tau ){\big )}^{1/4}}}-{\big (}\lambda (\tau ){\big )}^{1/4}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\eta {\big (}{\tfrac {\tau }{4}}{\big )}}{\eta (\tau )}}\right)^{4}=2{\frac {\theta _{4}^{2}{\big (}{\tfrac {\tau }{2}}{\big )}}{\theta _{2}^{2}{\big (}{\tfrac {\tau }{2}}{\big )}}}\end{aligned}}}
де[ 6]
θ
2
(
τ
)
=
∑
n
=
−
∞
∞
e
π
i
τ
(
n
+
1
/
2
)
2
{\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{2}(\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\rm {e}}^{\pi {\rm {i}}\tau (n+1/2)^{2}}\end{aligned}}}
θ
3
(
τ
)
=
∑
n
=
−
∞
∞
e
π
i
τ
n
2
{\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{3}(\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\rm {e}}^{\pi {\rm {i}}\tau n^{2}}\end{aligned}}}
θ
4
(
τ
)
=
∑
n
=
−
∞
∞
(
−
1
)
n
e
π
i
τ
n
2
{\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{4}(\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}{\rm {e}}^{\pi {\rm {i}}\tau n^{2}}\end{aligned}}}
Модулярну лямбда-функцію можна записати у термінах півперіодів еліптичних функцій Вейєрштрасса .
Нехай
[
ω
1
,
ω
2
]
{\displaystyle [\omega _{1},\omega _{2}]}
— фундаментальна пара періодів [en] з
τ
=
ω
2
ω
1
{\displaystyle \tau ={\frac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}}
,
e
1
=
℘
(
ω
1
2
)
,
e
2
=
℘
(
ω
2
2
)
,
e
3
=
℘
(
ω
1
+
ω
2
2
)
{\displaystyle {\begin{aligned}e_{1}=\wp \left({\frac {\omega _{1}}{2}}\right),\quad e_{2}=\wp \left({\frac {\omega _{2}}{2}}\right),\quad e_{3}=\wp \left({\frac {\omega _{1}+\omega _{2}}{2}}\right)\end{aligned}}}
тоді[ 5]
λ
=
e
3
−
e
2
e
1
−
e
2
{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ={\frac {e_{3}-e_{2}}{e_{1}-e_{2}}}\end{aligned}}}
Оскільки три значення півперіодів різні, то
λ
{\displaystyle \lambda }
не набуває значень 0 або 1[ 5] .
Модулярна лямбда-функція пов'язана з
j
{\displaystyle j}
-інваріантом наступним чином:[ 7] [ 8]
j
(
τ
)
=
256
(
1
−
λ
(
1
−
λ
)
)
3
(
λ
(
1
−
λ
)
)
2
=
256
(
1
−
λ
+
λ
2
)
3
λ
2
(
1
−
λ
)
2
{\displaystyle {\begin{aligned}j(\tau )={\frac {256(1-\lambda (1-\lambda ))^{3}}{(\lambda (1-\lambda ))^{2}}}={\frac {256(1-\lambda +\lambda ^{2})^{3}}{\lambda ^{2}(1-\lambda )^{2}}}\end{aligned}}}
,
яка є
j
{\displaystyle j}
-інваріантом еліптичної кривої у формі Лежандра [en]
y
2
=
x
(
x
−
1
)
(
x
−
λ
)
{\displaystyle y^{2}=x(x-1)(x-\lambda )}
.
Модулярне рівняння степеня Неможливо розібрати вираз (SVG (MathML можна ввімкнути через плагін браузера): Недійсна відповідь («Math extension cannot connect to Restbase.») від сервера «http://localhost:6011/uk.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle p}
(де
p
{\displaystyle p}
— просте число ) — алгебраїчне рівняння на функції
λ
(
p
τ
)
{\displaystyle \lambda (p\tau )}
і
λ
(
τ
)
{\displaystyle \lambda (\tau )}
.
Якщо
λ
(
p
τ
)
=
u
8
{\displaystyle \lambda (p\tau )=u^{8}}
і
λ
(
τ
)
=
v
8
{\displaystyle \lambda (\tau )=v^{8}}
, то модулярні рівняння степенів
p
=
2
,
3
,
5
,
7
{\displaystyle p=2,3,5,7}
відповідно мають вигляд[ 9]
(
1
+
u
4
)
2
v
8
−
4
u
4
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}{\big (}1+u^{4}{\big )}^{2}v^{8}-4u^{4}=0\end{aligned}}}
u
4
−
v
4
+
2
u
v
(
1
−
u
2
v
2
)
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}u^{4}-v^{4}+2uv{\big (}1-u^{2}v^{2}{\big )}=0\end{aligned}}}
u
6
−
v
6
+
5
u
2
v
2
(
u
2
−
v
2
)
+
4
u
v
(
1
−
u
4
v
4
)
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}u^{6}-v^{6}+5u^{2}v^{2}{\big (}u^{2}-v^{2}{\big )}+4uv{\big (}1-u^{4}v^{4}{\big )}=0\end{aligned}}}
(
1
−
u
8
)
(
1
−
v
8
)
−
(
1
−
u
v
)
8
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}{\big (}1-u^{8}{\big )}{\big (}1-v^{8}{\big )}-(1-uv)^{8}=0\end{aligned}}}
Змінну
v
{\displaystyle v}
(і, отже,
u
{\displaystyle u}
) можна розглядати як голоморфну функцію у верхній півплощині
Im
τ
>
0
{\displaystyle \operatorname {Im} \tau >0}
:
v
=
∏
k
=
1
∞
tanh
(
k
−
1
/
2
)
π
i
τ
=
2
e
π
i
τ
/
8
∑
k
∈
Z
e
(
2
k
2
+
k
)
π
i
τ
∑
k
∈
Z
e
k
2
π
i
τ
=
2
e
π
i
τ
/
8
1
+
e
π
i
τ
1
+
e
π
i
τ
+
e
2
π
i
τ
1
+
e
2
π
i
τ
+
e
3
π
i
τ
1
+
e
3
π
i
τ
+
⋱
{\displaystyle {\begin{aligned}v&=\prod _{k=1}^{\infty }\tanh {\frac {(k-1/2)\pi i}{\tau }}={\sqrt {2}}e^{\pi i\tau /8}{\frac {\sum _{k\in \mathbb {Z} }e^{(2k^{2}+k)\pi i\tau }}{\sum _{k\in \mathbb {Z} }e^{k^{2}\pi i\tau }}}\\&={\cfrac {{\sqrt {2}}e^{\pi i\tau /8}}{1+{\cfrac {e^{\pi i\tau }}{1+e^{\pi i\tau }+{\cfrac {e^{2\pi i\tau }}{1+e^{2\pi i\tau }+{\cfrac {e^{3\pi i\tau }}{1+e^{3\pi i\tau }+\ddots }}}}}}}}\end{aligned}}}
Оскільки
λ
(
i
)
=
1
/
2
{\displaystyle \lambda ({\rm {i}})=1/2}
, то модулярні рівняння можна використовувати для отримання алгебраїчних значень для
λ
(
p
i
)
{\displaystyle \lambda (p{\rm {i}})}
для будь-якого простого числа
p
{\displaystyle p}
.[ 10]
Алгебраїчні значення для
λ
(
n
i
)
{\displaystyle \lambda (n{\rm {i}})}
також визначаються за допомогою формул[ 11] [ 12]
λ
(
n
i
)
=
∏
k
=
1
n
/
2
sl
8
(
2
k
−
1
)
ϖ
2
n
,
якщо
n
парне
{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda (n{\rm {i}})=\prod _{k=1}^{n/2}\operatorname {sl} ^{8}{\frac {(2k-1)\varpi }{2n}},\quad {\text{якщо}}\ n\ {\text{парне}}\end{aligned}}}
,
λ
(
n
i
)
=
1
2
n
∏
k
=
1
n
−
1
(
1
−
sl
2
k
ϖ
n
)
2
,
якщо
n
непарне
{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda (n{\rm {i}})={\frac {1}{2^{n}}}\prod _{k=1}^{n-1}\left(1-\operatorname {sl} ^{2}{\frac {k\varpi }{n}}\right)^{2},\quad {\text{якщо}}\ n\ {\text{непарне}}\end{aligned}}}
,
де
sl
{\displaystyle \operatorname {sl} }
— лемніскатний синус і
ϖ
{\displaystyle \varpi }
— лемніскатна стала .
Функція
λ
∗
(
x
)
{\displaystyle \lambda ^{*}(x)}
[ 13]
(де
x
∈
R
+
{\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{+}}
) дає значення еліптичного модуля
k
{\displaystyle k}
, для якого повний еліптичний інтеграл першого роду
K
(
k
)
{\displaystyle K(k)}
і його доповняльний аналог
K
(
1
−
k
2
)
{\displaystyle K{\big (}{\sqrt {1-k^{2}}}{\big )}}
пов'язані таким співвідношенням:
K
[
1
−
λ
∗
(
x
)
2
]
K
[
λ
∗
(
x
)
]
=
x
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {K\left[{\sqrt {1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}\right]}{K[\lambda ^{*}(x)]}}={\sqrt {x}}\end{aligned}}}
Значення
λ
∗
(
x
)
{\displaystyle \lambda ^{*}(x)}
можна обчислити так:
λ
∗
(
x
)
=
θ
2
2
(
i
x
)
θ
3
2
(
i
x
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}(x)={\frac {\theta _{2}^{2}{\big (}{\rm {i}}{\sqrt {x}}{\big )}}{\theta _{3}^{2}{\big (}{\rm {i}}{\sqrt {x}}{\big )}}}\end{aligned}}}
λ
∗
(
x
)
=
[
∑
a
=
−
∞
∞
exp
[
−
(
a
+
1
/
2
)
2
π
x
]
]
2
[
∑
a
=
−
∞
∞
exp
(
−
a
2
π
x
)
]
−
2
{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}(x)=\left[\sum _{a=-\infty }^{\infty }\exp {\big [}{-}(a+1/2)^{2}\pi {\sqrt {x}}{\big ]}\right]^{2}\left[\sum _{a=-\infty }^{\infty }\exp {\big (}{-}a^{2}\pi {\sqrt {x}}{\big )}\right]^{-2}\end{aligned}}}
λ
∗
(
x
)
=
[
∑
a
=
−
∞
∞
sech
[
(
a
+
1
/
2
)
π
x
]
]
[
∑
a
=
−
∞
∞
sech
(
a
π
x
)
]
−
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}(x)=\left[\sum _{a=-\infty }^{\infty }\operatorname {sech} {\big [}(a+1/2)\pi {\sqrt {x}}{\big ]}\right]\left[\sum _{a=-\infty }^{\infty }\operatorname {sech} {\big (}a\pi {\sqrt {x}}{\big )}\right]^{-1}\end{aligned}}}
Функції
λ
∗
{\displaystyle \lambda ^{*}}
і
λ
{\displaystyle \lambda }
пов'язані одна з одною за допомогою співвідношення:
λ
∗
(
x
)
=
λ
(
i
x
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}(x)={\sqrt {\lambda {\big (}{\rm {i}}{\sqrt {x}}{\big )}}}\end{aligned}}}
.
Будь-яке
λ
∗
{\displaystyle \lambda ^{*}}
значення додатного раціонального числа є додатним алгебраїчним числом :
λ
∗
(
x
∈
Q
+
)
∈
A
+
{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}(x\in \mathbb {Q} ^{+})\in \mathbb {A} ^{+}\end{aligned}}}
Як довели Селберг і Чоула в 1949 році[ 14] [ 15] ,
K
(
λ
∗
(
x
)
)
{\displaystyle K(\lambda ^{*}(x))}
і
E
(
λ
∗
(
x
)
)
{\displaystyle E(\lambda ^{*}(x))}
(повний еліптичний інтеграл другого роду можна представити в замкненій формі в термінах гамма-функції для будь-якого
x
∈
Q
+
{\displaystyle x\in \mathbb {Q} ^{+}}
.
Наступне співвідношення справедливе для всіх
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
:
n
=
∑
a
=
1
n
dn
[
2
a
n
K
[
λ
∗
(
1
n
)
]
;
λ
∗
(
1
n
)
]
{\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {n}}=\sum _{a=1}^{n}\operatorname {dn} \left[{\frac {2a}{n}}K\left[\lambda ^{*}\left({\frac {1}{n}}\right)\right];\lambda ^{*}\left({\frac {1}{n}}\right)\right]\end{aligned}}}
де
dn
{\displaystyle \operatorname {dn} }
— еліптична функція Якобі дельта амплітуди з модулем
k
{\displaystyle k}
.
Знаючи одне
λ
∗
{\displaystyle \lambda ^{*}}
значення, цю формулу можна використовувати для обчислення пов'язаних
λ
∗
{\displaystyle \lambda ^{*}}
значень:[ 16]
λ
∗
(
n
2
x
)
=
λ
∗
(
x
)
n
∏
a
=
1
n
sn
{
2
a
−
1
n
K
[
λ
∗
(
x
)
]
;
λ
∗
(
x
)
}
2
{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}(n^{2}x)=\lambda ^{*}(x)^{n}\prod _{a=1}^{n}\operatorname {sn} \left\{{\frac {2a-1}{n}}K[\lambda ^{*}(x)];\lambda ^{*}(x)\right\}^{2}\end{aligned}}}
,
де
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
,
sn
{\displaystyle \operatorname {sn} }
— еліптична функція Якобі синус амплітуди з модулем
k
{\displaystyle k}
.
Подальші співвідношення:
λ
∗
(
x
)
2
+
λ
∗
(
1
/
x
)
2
=
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}(x)^{2}+\lambda ^{*}(1/x)^{2}=1\end{aligned}}}
[
λ
∗
(
4
/
x
)
+
1
]
=
2
{\displaystyle {\begin{aligned}[\lambda ^{*}(x)+1][\lambda ^{*}(4/x)+1]=2\end{aligned}}}
λ
∗
(
4
x
)
=
1
−
1
−
λ
∗
(
x
)
2
1
+
1
−
λ
∗
(
x
)
2
=
tan
{
1
2
arcsin
[
λ
∗
(
x
)
]
}
2
{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}(4x)={\frac {1-{\sqrt {1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}}{1+{\sqrt {1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}}}=\tan \left\{{\frac {1}{2}}\arcsin[\lambda ^{*}(x)]\right\}^{2}\end{aligned}}}
λ
∗
(
x
)
−
λ
∗
(
9
x
)
=
2
[
λ
∗
(
x
)
λ
∗
(
9
x
)
]
1
/
4
−
2
[
λ
∗
(
x
)
λ
∗
(
9
x
)
]
3
/
4
{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}(x)-\lambda ^{*}(9x)=2[\lambda ^{*}(x)\lambda ^{*}(9x)]^{1/4}-2[\lambda ^{*}(x)\lambda ^{*}(9x)]^{3/4}\end{aligned}}}
[
2
λ
∗
(
x
)
1
−
λ
∗
(
x
)
2
]
1
/
2
−
[
2
λ
∗
(
25
x
)
1
−
λ
∗
(
25
x
)
2
]
1
/
2
==
2
[
2
λ
∗
(
x
)
1
−
λ
∗
(
x
)
2
]
1
/
12
[
2
λ
∗
(
25
x
)
1
−
λ
∗
(
25
x
)
2
]
1
/
12
+
2
[
2
λ
∗
(
x
)
1
−
λ
∗
(
x
)
2
]
5
/
12
[
2
λ
∗
(
25
x
)
1
−
λ
∗
(
25
x
)
2
]
5
/
12
{\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\frac {2\lambda ^{*}(x)}{1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}\right]^{1/2}-\left[{\frac {2\lambda ^{*}(25x)}{1-\lambda ^{*}(25x)^{2}}}\right]^{1/2}==2\left[{\frac {2\lambda ^{*}(x)}{1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}\right]^{1/12}\left[{\frac {2\lambda ^{*}(25x)}{1-\lambda ^{*}(25x)^{2}}}\right]^{1/12}+2\left[{\frac {2\lambda ^{*}(x)}{1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}\right]^{5/12}\left[{\frac {2\lambda ^{*}(25x)}{1-\lambda ^{*}(25x)^{2}}}\right]^{5/12}\end{aligned}}}
a
8
+
b
8
−
7
a
4
b
4
=
2
2
a
b
+
2
2
a
7
b
7
{\displaystyle {\begin{aligned}a^{8}+b^{8}-7a^{4}b^{4}=2{\sqrt {2}}ab+2{\sqrt {2}}a^{7}b^{7}\end{aligned}}}
a
=
[
2
λ
∗
(
x
)
1
−
λ
∗
(
x
)
2
]
1
/
12
,
b
=
[
2
λ
∗
(
49
x
)
1
−
λ
∗
(
49
x
)
2
]
1
/
12
{\displaystyle {\begin{aligned}a=\left[{\frac {2\lambda ^{*}(x)}{1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}\right]^{1/12},\quad b=\left[{\frac {2\lambda ^{*}(49x)}{1-\lambda ^{*}(49x)^{2}}}\right]^{1/12}\end{aligned}}}
a
12
−
c
12
=
2
2
(
a
c
+
a
3
c
3
)
(
1
+
3
a
2
c
2
+
a
4
c
4
)
(
2
+
3
a
2
c
2
+
2
a
4
c
4
)
{\displaystyle {\begin{aligned}a^{12}-c^{12}=2{\sqrt {2}}{\big (}ac+a^{3}c^{3}{\big )}{\big (}1+3a^{2}c^{2}+a^{4}c^{4}{\big )}{\big (}2+3a^{2}c^{2}+2a^{4}c^{4}{\big )}\end{aligned}}}
a
=
[
2
λ
∗
(
x
)
1
−
λ
∗
(
x
)
2
]
1
/
12
,
c
=
[
2
λ
∗
(
121
x
)
1
−
λ
∗
(
121
x
)
2
]
1
/
12
{\displaystyle {\begin{aligned}a=\left[{\frac {2\lambda ^{*}(x)}{1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}\right]^{1/12},\quad c=\left[{\frac {2\lambda ^{*}(121x)}{1-\lambda ^{*}(121x)^{2}}}\right]^{1/12}\end{aligned}}}
(
a
2
−
d
2
)
(
a
4
+
d
4
−
7
a
2
d
2
)
[
(
a
2
−
d
2
)
4
−
a
2
d
2
(
a
2
+
d
2
)
2
]
=
8
a
d
+
8
a
13
d
13
,
a
=
[
2
λ
∗
(
x
)
1
−
λ
∗
(
x
)
2
]
1
/
12
,
d
=
[
2
λ
∗
(
169
x
)
1
−
λ
∗
(
169
x
)
2
]
1
/
12
{\displaystyle {\begin{aligned}{\big (}a^{2}-d^{2}{\big )}{\big (}a^{4}+d^{4}-7a^{2}d^{2}{\big )}{\big [}{\big (}a^{2}-d^{2}{\big )}^{4}-a^{2}d^{2}{\big (}a^{2}+d^{2}{\big )}^{2}{\big ]}=8ad+8a^{13}d^{13},\quad a=\left[{\frac {2\lambda ^{*}(x)}{1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}\right]^{1/12},\ d=\left[{\frac {2\lambda ^{*}(169x)}{1-\lambda ^{*}(169x)^{2}}}\right]^{1/12}\end{aligned}}}
Значення лямбда-зірки для натуральних чисел вигляду
4
n
−
3
{\displaystyle 4n-3}
:
λ
∗
(
1
)
=
1
2
{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}(1)={\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{aligned}}}
λ
∗
(
5
)
=
sin
[
1
2
arcsin
(
5
−
2
)
]
{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}(5)=\sin \left[{\frac {1}{2}}\arcsin {\big (}{\sqrt {5}}-2{\big )}\right]\end{aligned}}}
λ
∗
(
9
)
=
1
2
(
3
−
1
)
(
2
−
3
4
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}(9)={\frac {1}{2}}{\big (}{\sqrt {3}}-1{\big )}{\big (}{\sqrt {2}}-{\sqrt[{4}]{3}}{\big )}\end{aligned}}}
λ
∗
(
13
)
=
sin
[
1
2
arcsin
(
5
13
−
18
)
]
{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}(13)=\sin \left[{\frac {1}{2}}\arcsin {\big (}5{\sqrt {13}}-18{\big )}\right]\end{aligned}}}
λ
∗
(
17
)
=
sin
{
1
2
arcsin
[
1
64
(
5
+
17
−
10
17
+
26
)
3
]
}
{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}(17)=\sin \left\{{\frac {1}{2}}\arcsin \left[{\frac {1}{64}}\left(5+{\sqrt {17}}-{\sqrt {10{\sqrt {17}}+26}}\right)^{3}\right]\right\}\end{aligned}}}
λ
∗
(
21
)
=
sin
{
1
2
arcsin
[
(
8
−
3
7
)
(
2
7
−
3
3
)
]
}
{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}(21)=\sin \left\{{\frac {1}{2}}\arcsin {\big [}{\big (}8-3{\sqrt {7}}{\big )}{\big (}2{\sqrt {7}}-3{\sqrt {3}}{\big )}{\big ]}\right\}\end{aligned}}}
λ
∗
(
25
)
=
1
2
(
5
−
2
)
(
3
−
2
5
4
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}(25)={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\big (}{\sqrt {5}}-2{\big )}{\big (}3-2{\sqrt[{4}]{5}}{\big )}\end{aligned}}}
λ
∗
(
33
)
=
sin
{
1
2
arcsin
[
(
10
−
3
11
)
(
2
−
3
)
3
]
}
{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}(33)=\sin \left\{{\frac {1}{2}}\arcsin {\big [}{\big (}10-3{\sqrt {11}}{\big )}{\big (}2-{\sqrt {3}}{\big )}^{3}{\big ]}\right\}\end{aligned}}}
λ
∗
(
37
)
=
sin
{
1
2
arcsin
[
(
37
−
6
)
3
]
}
{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}(37)=\sin \left\{{\frac {1}{2}}\arcsin {\big [}{\big (}{\sqrt {37}}-6{\big )}^{3}{\big ]}\right\}\end{aligned}}}
λ
∗
(
45
)
=
sin
{
1
2
arcsin
[
(
4
−
15
)
2
(
5
−
2
)
3
]
}
{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}(45)=\sin \left\{{\frac {1}{2}}\arcsin {\big [}{\big (}4-{\sqrt {15}}{\big )}^{2}{\big (}{\sqrt {5}}-2{\big )}^{3}{\big ]}\right\}\end{aligned}}}
λ
∗
(
49
)
=
1
4
(
8
+
3
7
)
(
5
−
7
−
28
4
)
(
14
−
2
−
28
8
5
−
7
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}(49)={\frac {1}{4}}{\big (}8+3{\sqrt {7}}{\big )}{\big (}5-{\sqrt {7}}-{\sqrt[{4}]{28}}{\big )}\left({\sqrt {14}}-{\sqrt {2}}-{\sqrt[{8}]{28}}{\sqrt {5-{\sqrt {7}}}}\right)\end{aligned}}}
λ
∗
(
57
)
=
sin
{
1
2
arcsin
[
(
170
−
39
19
)
(
2
−
3
)
3
]
}
{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}(57)=\sin \left\{{\frac {1}{2}}\arcsin {\big [}{\big (}170-39{\sqrt {19}}{\big )}{\big (}2-{\sqrt {3}}{\big )}^{3}{\big ]}\right\}\end{aligned}}}
λ
∗
(
73
)
=
sin
{
1
2
arcsin
[
1
64
(
45
+
5
73
−
3
50
73
+
426
)
3
]
}
{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}(73)=\sin \left\{{\frac {1}{2}}\arcsin \left[{\frac {1}{64}}\left(45+5{\sqrt {73}}-3{\sqrt {50{\sqrt {73}}+426}}\right)^{3}\right]\right\}\end{aligned}}}
Значення лямбда-зірки для натуральних чисел вигляду
4
n
−
2
{\displaystyle 4n-2}
:
λ
∗
(
2
)
=
2
−
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}(2)={\sqrt {2}}-1\end{aligned}}}
λ
∗
(
6
)
=
(
2
−
3
)
(
3
−
2
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}(6)={\big (}2-{\sqrt {3}}{\big )}{\big (}{\sqrt {3}}-{\sqrt {2}}{\big )}\end{aligned}}}
λ
∗
(
10
)
=
(
10
−
3
)
(
2
−
1
)
2
{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}(10)={\big (}{\sqrt {10}}-3{\big )}{\big (}{\sqrt {2}}-1{\big )}^{2}\end{aligned}}}
λ
∗
(
14
)
=
tan
{
1
2
arctan
[
1
8
(
2
2
+
1
−
4
2
+
5
)
3
]
}
{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}(14)=\tan \left\{{\frac {1}{2}}\arctan \left[{\frac {1}{8}}\left(2{\sqrt {2}}+1-{\sqrt {4{\sqrt {2}}+5}}\right)^{3}\right]\right\}\end{aligned}}}
λ
∗
(
14
)
=
tan
{
1
2
arctan
[
1
8
(
2
2
+
1
−
4
2
+
5
)
3
]
}
{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}(14)=\tan \left\{{\frac {1}{2}}\arctan \left[{\frac {1}{8}}\left(2{\sqrt {2}}+1-{\sqrt {4{\sqrt {2}}+5}}\right)^{3}\right]\right\}\end{aligned}}}
λ
∗
(
18
)
=
(
2
−
1
)
3
(
2
−
3
)
2
{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}(18)={\big (}{\sqrt {2}}-1{\big )}^{3}{\big (}2-{\sqrt {3}}{\big )}^{2}\end{aligned}}}
λ
∗
(
22
)
=
(
10
−
3
11
)
(
3
11
−
7
2
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}(22)={\big (}10-3{\sqrt {11}}{\big )}{\big (}3{\sqrt {11}}-7{\sqrt {2}}{\big )}\end{aligned}}}
λ
∗
(
30
)
=
tan
{
1
2
arctan
[
(
10
−
3
)
2
(
5
−
2
)
2
]
}
{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}(30)=\tan \left\{{\frac {1}{2}}\arctan {\big [}{\big (}{\sqrt {10}}-3{\big )}^{2}{\big (}{\sqrt {5}}-2{\big )}^{2}{\big ]}\right\}\end{aligned}}}
λ
∗
(
34
)
=
tan
{
1
4
arcsin
[
1
9
(
17
−
4
)
2
]
}
{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}(34)=\tan \left\{{\frac {1}{4}}\arcsin \left[{\frac {1}{9}}{\big (}{\sqrt {17}}-4{\big )}^{2}\right]\right\}\end{aligned}}}
λ
∗
(
42
)
=
tan
{
1
2
arctan
[
(
2
7
−
3
3
)
2
(
2
2
−
7
)
2
]
}
{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}(42)=\tan \left\{{\frac {1}{2}}\arctan {\big [}{\big (}2{\sqrt {7}}-3{\sqrt {3}}{\big )}^{2}{\big (}2{\sqrt {2}}-{\sqrt {7}}{\big )}^{2}{\big ]}\right\}\end{aligned}}}
λ
∗
(
46
)
=
tan
{
1
2
arctan
[
1
64
(
3
+
2
−
6
2
+
7
)
6
]
}
{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}(46)=\tan \left\{{\frac {1}{2}}\arctan \left[{\frac {1}{64}}\left(3+{\sqrt {2}}-{\sqrt {6{\sqrt {2}}+7}}\right)^{6}\right]\right\}\end{aligned}}}
λ
∗
(
58
)
=
(
13
58
−
99
)
(
2
−
1
)
6
{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}(58)={\big (}13{\sqrt {58}}-99{\big )}{\big (}{\sqrt {2}}-1{\big )}^{6}\end{aligned}}}
λ
∗
(
70
)
=
tan
{
1
2
arctan
[
(
5
−
2
)
4
(
2
−
1
)
6
]
}
{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}(70)=\tan \left\{{\frac {1}{2}}\arctan {\big [}{\big (}{\sqrt {5}}-2{\big )}^{4}{\big (}{\sqrt {2}}-1{\big )}^{6}{\big ]}\right\}\end{aligned}}}
λ
∗
(
78
)
=
tan
{
1
2
arctan
[
(
5
13
−
18
)
2
(
26
−
5
)
2
]
}
{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}(78)=\tan \left\{{\frac {1}{2}}\arctan {\big [}{\big (}5{\sqrt {13}}-18{\big )}^{2}{\big (}{\sqrt {26}}-5{\big )}^{2}{\big ]}\right\}\end{aligned}}}
λ
∗
(
82
)
=
tan
{
1
4
arcsin
[
1
4761
(
8
41
−
51
)
2
]
}
{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}(82)=\tan \left\{{\frac {1}{4}}\arcsin \left[{\frac {1}{4761}}{\big (}8{\sqrt {41}}-51{\big )}^{2}\right]\right\}\end{aligned}}}
Значення лямбда-зірки для натуральних чисел вигляду
4
n
−
1
{\displaystyle 4n-1}
:
λ
∗
(
3
)
=
1
2
2
(
3
−
1
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}(3)={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\big (}{\sqrt {3}}-1{\big )}\end{aligned}}}
λ
∗
(
7
)
=
1
4
2
(
3
−
7
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}(7)={\frac {1}{4{\sqrt {2}}}}{\big (}3-{\sqrt {7}}{\big )}\end{aligned}}}
λ
∗
(
11
)
=
1
8
2
(
11
+
3
)
(
1
3
6
3
+
2
11
3
−
1
3
6
3
−
2
11
3
+
1
3
11
−
1
)
4
{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}(11)={\frac {1}{8{\sqrt {2}}}}({\sqrt {11}}+3)\left({\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {3}}+2{\sqrt {11}}}}-{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {3}}-2{\sqrt {11}}}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt {11}}-1\right)^{4}\end{aligned}}}
λ
∗
(
15
)
=
1
8
2
(
3
−
5
)
(
5
−
3
)
(
2
−
3
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}(15)={\frac {1}{8{\sqrt {2}}}}{\big (}3-{\sqrt {5}}{\big )}{\big (}{\sqrt {5}}-{\sqrt {3}}{\big )}{\big (}2-{\sqrt {3}}{\big )}\end{aligned}}}
λ
∗
(
19
)
=
1
8
2
(
3
19
+
13
)
[
1
6
(
19
−
2
+
3
)
3
3
−
19
3
−
1
6
(
19
−
2
−
3
)
3
3
+
19
3
−
1
3
(
5
−
19
)
]
4
{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}(19)={\frac {1}{8{\sqrt {2}}}}(3{\sqrt {19}}+13)\left[{\frac {1}{6}}({\sqrt {19}}-2+{\sqrt {3}}){\sqrt[{3}]{3{\sqrt {3}}-{\sqrt {19}}}}-{\frac {1}{6}}({\sqrt {19}}-2-{\sqrt {3}}){\sqrt[{3}]{3{\sqrt {3}}+{\sqrt {19}}}}-{\frac {1}{3}}(5-{\sqrt {19}})\right]^{4}\end{aligned}}}
λ
∗
(
23
)
=
1
16
2
(
5
+
23
)
[
1
6
(
3
+
1
)
100
−
12
69
3
−
1
6
(
3
−
1
)
100
+
12
69
3
+
2
3
]
4
{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}(23)={\frac {1}{16{\sqrt {2}}}}(5+{\sqrt {23}})\left[{\frac {1}{6}}({\sqrt {3}}+1){\sqrt[{3}]{100-12{\sqrt {69}}}}-{\frac {1}{6}}({\sqrt {3}}-1){\sqrt[{3}]{100+12{\sqrt {69}}}}+{\frac {2}{3}}\right]^{4}\end{aligned}}}
λ
∗
(
27
)
=
1
16
2
(
3
−
1
)
3
[
1
3
3
(
4
3
−
2
3
+
1
)
−
2
3
+
1
]
4
{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}(27)={\frac {1}{16{\sqrt {2}}}}{\big (}{\sqrt {3}}-1{\big )}^{3}\left[{\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}{\big (}{\sqrt[{3}]{4}}-{\sqrt[{3}]{2}}+1{\big )}-{\sqrt[{3}]{2}}+1\right]^{4}\end{aligned}}}
λ
∗
(
39
)
=
sin
{
1
2
arcsin
[
1
16
(
6
−
13
−
3
6
13
−
21
)
]
}
{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}(39)=\sin \left\{{\frac {1}{2}}\arcsin \left[{\frac {1}{16}}\left(6-{\sqrt {13}}-3{\sqrt {6{\sqrt {13}}-21}}\right)\right]\right\}\end{aligned}}}
λ
∗
(
55
)
=
sin
{
1
2
arcsin
[
1
512
(
3
5
−
3
−
6
5
−
2
)
3
]
}
{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}(55)=\sin \left\{{\frac {1}{2}}\arcsin \left[{\frac {1}{512}}\left(3{\sqrt {5}}-3-{\sqrt {6{\sqrt {5}}-2}}\right)^{3}\right]\right\}\end{aligned}}}
Значення лямбда-зірки для натуральних чисел вигляду
4
n
{\displaystyle 4n}
:
λ
∗
(
4
)
=
(
2
−
1
)
2
{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}(4)={\big (}{\sqrt {2}}-1{\big )}^{2}\end{aligned}}}
λ
∗
(
8
)
=
(
2
+
1
−
2
2
+
2
)
2
{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}(8)=\left({\sqrt {2}}+1-{\sqrt {2{\sqrt {2}}+2}}\right)^{2}\end{aligned}}}
λ
∗
(
12
)
=
(
3
−
2
)
2
(
2
−
1
)
2
{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}(12)={\big (}{\sqrt {3}}-{\sqrt {2}}{\big )}^{2}{\big (}{\sqrt {2}}-1{\big )}^{2}\end{aligned}}}
λ
∗
(
16
)
=
(
2
+
1
)
2
(
2
4
−
1
)
4
{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}(16)={\big (}{\sqrt {2}}+1{\big )}^{2}{\big (}{\sqrt[{4}]{2}}-1{\big )}^{4}\end{aligned}}}
λ
∗
(
20
)
=
tan
[
1
4
arcsin
(
5
−
2
)
]
2
{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}(20)=\tan \left[{\frac {1}{4}}\arcsin {\big (}{\sqrt {5}}-2{\big )}\right]^{2}\end{aligned}}}
λ
∗
(
24
)
=
tan
{
1
2
arcsin
[
(
2
−
3
)
(
3
−
2
)
]
}
2
{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}(24)=\tan \left\{{\frac {1}{2}}\arcsin {\big [}{\big (}2-{\sqrt {3}}{\big )}{\big (}{\sqrt {3}}-{\sqrt {2}}{\big )}{\big ]}\right\}^{2}\end{aligned}}}
λ
∗
(
28
)
=
(
2
2
−
7
)
2
(
2
−
1
)
4
{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}(28)={\big (}2{\sqrt {2}}-{\sqrt {7}}{\big )}^{2}{\big (}{\sqrt {2}}-1{\big )}^{4}\end{aligned}}}
λ
∗
(
32
)
=
tan
{
1
2
arcsin
[
(
2
+
1
−
2
2
+
2
)
2
]
}
2
{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}(32)=\tan \left\{{\frac {1}{2}}\arcsin \left[\left({\sqrt {2}}+1-{\sqrt {2{\sqrt {2}}+2}}\right)^{2}\right]\right\}^{2}\end{aligned}}}
Значення лямбда-зірки для раціональних дробів:
λ
∗
(
1
2
)
=
2
2
−
2
{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}\left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {2{\sqrt {2}}-2}}\end{aligned}}}
λ
∗
(
1
3
)
=
1
2
2
(
3
+
1
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}\left({\frac {1}{3}}\right)={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\big (}{\sqrt {3}}+1{\big )}\end{aligned}}}
λ
∗
(
2
3
)
=
(
2
−
3
)
(
3
+
2
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}\left({\frac {2}{3}}\right)={\big (}2-{\sqrt {3}}{\big )}{\big (}{\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}{\big )}\end{aligned}}}
λ
∗
(
1
4
)
=
2
2
4
(
2
−
1
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}\left({\frac {1}{4}}\right)=2{\sqrt[{4}]{2}}{\big (}{\sqrt {2}}-1{\big )}\end{aligned}}}
λ
∗
(
3
4
)
=
8
4
(
3
−
2
)
(
2
+
1
)
(
3
−
1
)
3
{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}\left({\frac {3}{4}}\right)={\sqrt[{4}]{8}}{\big (}{\sqrt {3}}-{\sqrt {2}}{\big )}{\big (}{\sqrt {2}}+1{\big )}{\sqrt {{\big (}{\sqrt {3}}-1{\big )}^{3}}}\end{aligned}}}
λ
∗
(
1
5
)
=
1
2
2
(
2
5
−
2
+
5
−
1
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}\left({\frac {1}{5}}\right)={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}\left({\sqrt {2{\sqrt {5}}-2}}+{\sqrt {5}}-1\right)\end{aligned}}}
λ
∗
(
2
5
)
=
(
10
−
3
)
(
2
+
1
)
2
{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}\left({\frac {2}{5}}\right)={\big (}{\sqrt {10}}-3{\big )}{\big (}{\sqrt {2}}+1{\big )}^{2}\end{aligned}}}
λ
∗
(
3
5
)
=
1
8
2
(
3
+
5
)
(
5
−
3
)
(
2
+
3
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}\left({\frac {3}{5}}\right)={\frac {1}{8{\sqrt {2}}}}{\big (}3+{\sqrt {5}}{\big )}{\big (}{\sqrt {5}}-{\sqrt {3}}{\big )}{\big (}2+{\sqrt {3}}{\big )}\end{aligned}}}
λ
∗
(
4
5
)
=
tan
[
π
4
−
1
4
arcsin
(
5
−
2
)
]
2
{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}\left({\frac {4}{5}}\right)=\tan \left[{\frac {\pi }{4}}-{\frac {1}{4}}\arcsin {\big (}{\sqrt {5}}-2{\big )}\right]^{2}\end{aligned}}}
Інваріанти класу Рамануджана
G
n
{\displaystyle G_{n}}
і
g
n
{\displaystyle g_{n}}
визначаються як[ 17]
G
n
=
2
−
1
/
4
e
π
n
/
24
∏
k
=
0
∞
(
1
+
e
−
(
2
k
+
1
)
π
n
)
{\displaystyle {\begin{aligned}G_{n}=2^{-1/4}{\rm {e}}^{\pi {\sqrt {n}}/24}\prod _{k=0}^{\infty }\left(1+{\rm {e}}^{-(2k+1)\pi {\sqrt {n}}}\right)\end{aligned}}}
g
n
=
2
−
1
/
4
e
π
n
/
24
∏
k
=
0
∞
(
1
−
e
−
(
2
k
+
1
)
π
n
)
{\displaystyle {\begin{aligned}g_{n}=2^{-1/4}{\rm {e}}^{\pi {\sqrt {n}}/24}\prod _{k=0}^{\infty }\left(1-{\rm {e}}^{-(2k+1)\pi {\sqrt {n}}}\right)\end{aligned}}}
де
n
∈
Q
+
{\displaystyle n\in \mathbb {Q} ^{+}}
. Для таких
n
{\displaystyle n}
інваріанти класу є алгебраїчними числами.
g
58
=
5
+
29
2
,
g
190
=
(
5
+
2
)
(
10
+
3
)
{\displaystyle {\begin{aligned}g_{58}={\sqrt {\frac {5+{\sqrt {29}}}{2}}},\quad g_{190}={\sqrt {{\big (}{\sqrt {5}}+2{\big )}{\big (}{\sqrt {10}}+3{\big )}}}\end{aligned}}}
Тотожності з інваріантами класу включають[ 18]
G
n
=
G
1
/
n
,
g
n
=
1
g
4
/
n
,
g
4
n
=
2
1
/
4
g
n
G
n
{\displaystyle {\begin{aligned}G_{n}=G_{1/n},\quad g_{n}={\frac {1}{g_{4/n}}},\quad g_{4n}=2^{1/4}g_{n}G_{n}\end{aligned}}}
Інваріанти класів дуже тісно пов'язані з модульними функціями Вебера [en]
f
{\displaystyle {\mathfrak {f}}}
і
f
1
{\displaystyle {\mathfrak {f}}_{1}}
.
Справедливі наступні співвідношення між лямбда-зіркою та інваріантами класу:
G
n
=
sin
{
2
arcsin
[
λ
∗
(
n
)
]
}
−
1
/
12
=
1
/
[
2
λ
∗
(
n
)
12
1
−
λ
∗
(
n
)
2
24
]
{\displaystyle {\begin{aligned}G_{n}=\sin\{2\arcsin[\lambda ^{*}(n)]\}^{-1/12}=1{\Big /}\left[{\sqrt[{12}]{2\lambda ^{*}(n)}}{\sqrt[{24}]{1-\lambda ^{*}(n)^{2}}}\right]\end{aligned}}}
g
n
=
tan
{
2
arctan
[
λ
∗
(
n
)
]
}
−
1
/
12
=
[
1
−
λ
∗
(
n
)
2
]
/
[
2
λ
∗
(
n
)
]
12
{\displaystyle {\begin{aligned}g_{n}=\tan\{2\arctan[\lambda ^{*}(n)]\}^{-1/12}={\sqrt[{12}]{[1-\lambda ^{*}(n)^{2}]/[2\lambda ^{*}(n)]}}\end{aligned}}}
λ
∗
(
n
)
=
tan
{
1
2
arctan
[
g
n
−
12
]
}
=
g
n
24
+
1
−
g
n
12
{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{*}(n)=\tan \left\{{\frac {1}{2}}\arctan {\big [}g_{n}^{-12}{\big ]}\right\}={\sqrt {g_{n}^{24}+1}}-g_{n}^{12}\end{aligned}}}
Лямбда-функція використовується в оригінальному доведенні малої теореми Пікара , що ціла нестала функція на комплексній площині не може пропускати більше одного значення.
Ця теорема була доведена Пікаром у 1879 р.[ 19]
Припустимо, якщо можливо, що функція
f
{\displaystyle f}
є цілою і не приймає значень 0 і 1. Оскільки функція
λ
{\displaystyle \lambda }
голоморфна, то вона має локальну голоморфну обернену функцію
ω
{\displaystyle \omega }
, що визначена поза 0, 1,
∞
{\displaystyle \infty }
.
Розглянемо функцію
z
↦
f
(
z
)
{\displaystyle z\mapsto f(z)}
.
За теоремою про монодромію [en] функція голоморфна і відображає комплексну площину
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
у верхню півплощину.
Звідси можна легко побудувати голоморфну функцію з
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
в одиничний круг, яка за теоремою Ліувіля має бути сталою.[ 20]
Функція
τ
↦
16
/
λ
(
2
τ
)
−
8
{\displaystyle \tau \mapsto 16/\lambda (2\tau )-8}
є нормалізованою головною модулярною функцією [en] для групи
Γ
0
(
4
)
{\displaystyle \Gamma _{0}(4)}
, а її
q
{\displaystyle q}
-розклад
q
−
1
+
20
q
−
62
q
3
+
⋯
{\displaystyle q^{-1}+20q-62q^{3}+\cdots }
, A007248 , де
q
=
e
2
π
i
τ
{\displaystyle q={\rm {e}}^{2\pi {\rm {i}}\tau }}
, є градуйованим характером будь-якого елемента в класі суміжності 4C групи-монстра , що діє на вершинній алгебрі монстра [en] .
Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1972), Handbook of Ma\-the\-ma\-ti\-cal Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-61272-0 , Zbl 0543.33001
Chandrasekharan, K. (1985), Elliptic Functions, Grundlehren der ma\-the\-ma\-ti\-schen Wissenschaften, vol. 281, Springer-Verlag , pp. 108—121, ISBN 3-540-15295-4 , Zbl 0575.33001
Conway, John Horton; Norton, Simon (1979), Monstrous moonshine , Bulletin of the London Mathematical Society, 11 (3): 308—339,\\ doi:10.1112/blms/11.3.308, MR 0554399, Zbl 0424.20010
Rankin, Robert A. (1977), Modular Forms and Functions, Cambridge University Press , ISBN 0-521-21212-X , Zbl 0376.10020
Reinhardt, W. P.; Walker, P. L. (2010), Elliptic Modular Function , in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5 , MR 2723248
Borwein, J. M. and Borwein, P. B. Pi \& the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. New York: Wiley, pp. 139 and 298, 1987.
Conway, J. H. and Norton, S. P. Monstrous Moonshine. Bull. London Math. Soc. 11, 308—339, 1979.
Selberg, A. and Chowla, S. ``On Epstein's Zeta-Function. J. reine angew. Math. 227, 86-110, 1967.
↑
λ
(
τ
)
{\displaystyle \lambda (\tau )}
не є модулярною функцією (відповідно до означення в Вікіпедії), але кожна модулярна функція є раціональною в
λ
(
τ
)
{\displaystyle \lambda (\tau )}
. Деякі автори використовують нееквівалентні означення для «модулярних функцій».
↑ Chandrasekharan (1985) p.115
↑ Chandrasekharan (1985) p.109
↑ Chandrasekharan (1985), p.110
↑ а б в г Chandrasekharan (1985), p.108
↑ Chandrasekharan (1985), p.63
↑ Chandrasekharan (1985), p.117
↑ Rankin (1977), pp.226-228
↑ Borwein, Jonathan M.; Borwein, Peter B. (1987). Pi and the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity (First ed.). Wiley-Interscience. ISBN 0-471-83138-7 . p.103-109, 134.}
↑ Для будь-якого простого степеня можна ітерувати модулярне рівняння степеня
p
{\displaystyle p}
. Цей процес можна використовувати для знаходження алгебраїчних значень
λ
(
n
i
)
{\displaystyle \lambda (n{\rm {i}})}
для будь-якого
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
↑ Jacobi, Carl Gustav Jacob (1829). Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum (in Latin). p.42
↑
sl
a
ϖ
{\displaystyle \operatorname {sl} a\varpi }
є алгебраїчним для будь-якого
a
∈
Q
{\displaystyle a\in \mathbb {Q} }
↑ Borwein, Jonathan M.; Borwein, Peter B. (1987). Pi and the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity (First ed.). Wiley-Interscience. ISBN 0-471-83138-7 . p.152
↑ Chowla, S.; Selberg, A. On Epstein's Zeta Function (I) . Semantic Scholar . p. 373
↑ Chowla, S.; Selberg, A. On Epstein's Zeta-Function . EuDML. p. 86–110
↑ Jacobi, Carl Gustav Jacob (1829). Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum (in Latin). p.~42
↑ Berndt, Bruce C.; Chan, Heng Huat; Zhang, Liang-Cheng (6 June 1997). Ramanujan's class invariants, Kronecker's limit formula, and modular equations . Transactions of the American Mathematical Society. 349 (6): 2125—2173
↑ Eymard, Pierre; Lafon, Jean-Pierre (1999). Autour du nombre Pi (in French). HERMANN. ISBN 2705614435 . p.240
↑ Chandrasekharan (1985), p.121
↑ Chandrasekharan (1985), p.118