Радикал Брінга

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Графік функції радикала Брінга для дійсного аргумента

Радикал Брінга чи ультрарадикал від дійсного числа це єдиний дійсний корінь многочлена

Позначається Для дійсного аргумента, це спадна необмежена непарна функція, з асимптотою для великих значень .

Джордж Жерард показав, що рівняння п'ятого степеня можуть бути розв'язані у закритій формі використовуючи радикали та Брінгові радикали, які були введені Ерландом Брінгом.

Нормальні форми рівняння п'ятого степеня

[ред. | ред. код]

Загальна форма рівняння п'ятого степеня:

Існують різні методи спрощення, що використовують перетворення Чірнхауса скорочення ненульових коефіцієнтів:

Первинна форма

[ред. | ред. код]

Форма без 4-го степеня та куба:

називається первинною і може бути отримана квадратичним перетворенням Чірнхауса, що пов'язує корені загальної і первинної форм

коефіцієнти α та β можуть бути отримані з результанта чи тотожностей Ньютона.

Форма Брінга—Жерарда

[ред. | ред. код]

Можливо також занулити коефіцієнт при квадраті, це форма Брінга—Жерарда:

Кубічне перетворення Чірнхауса не допомагає, бо приводить до рівняння 6-го степеня.

Але в 1786 році Брінг знайшов перетворення Чірнхауса 4-го степеня:

що приводить до системи 5 рівнянь з 6 невідомими, де потрібно розв'язувати кубічні і квадратні рівняння. Цей метод також був відкритий Джорджем Жерардом в 1832.

Таку систему краще розв'язувати в одній із систем комп'ютерної алгебри, оскільки запис розв'язку є незрівнянно довшим за розв'язок рівняння четвертого степеня.

Далі лінійною заміною змінної можна звести до форми від одного коефіцієнта:

яка використовується в методах розв'язку Ерміта—Кронекера—Брілші, Глассера, Коклі—Харлі з різними резольвентами.

Загальний розв'язок рівняння 5-го ступеня

[ред. | ред. код]

Корені многочлена

Можуть бути отримані використовуючи радикал Брінга:


Джерела

[ред. | ред. код]
  • Hazewinkel, M. (2001), transformation Tschirnhausen transformation, у Hazewinkel, Michiel (ред.), Математична енциклопедія, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
  • Weisstein, Eric W. Bring–Jerrard Quintic Form(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
  • Weisstein, Eric W. Bring Quintic Form(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
  • Weisstein, Eric W. Ultraradical(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.