Правильний трикутник
Правильний трикутник | |
---|---|
Тип | Правильний багатокутник |
Властивості | Опуклий, рівносторонній |
Елементи | 3 ребра 3 вершини |
Позначення | |
Символ Шлефлі | {3} |
Діаграма Коксетера-Динкіна |
або (x3o) |
Група симетрії | D3, порядок 6 (Діедральна група) |
Двоїстий | Самодвоїстий |
Правильний трикутник (тригон від грец. τρεῖς - три та γωνία -кут) — трикутник, у якого всі сторони і кути рівні. Тому його також називають рівностороннім трикутником.
Також, правильний трикутник — геометрична фігура, правильний багатокутник з трьома сторонами.
Усі внутрішні кути правильного трикутника дорівнюють 60° (або /3 радіан).
Правильний трикутник має три ліній дзеркальної симетрії, що проходять через його висоти, і обертову симетрію 3-го порядку навколо центра О (на кути 60°, 120° і 360°), тобто група рухів (самосуміщень) площини для правильного трикутника складається з 6 елементів.
Нехай сторона правильного трикутника дорівнює . Тоді:
Периметр: ;
Висота трикутника ‒ відстань від вершини до протилежної сторони: ;
Апофема ‒ відстань від центру до сторони:
Радіус вписаного кола (дотикається до всіх його сторін):
;
Радіус описаного кола ‒ проходить через всі його вершини:
Радіус зовнівписаного кола ‒ дотикається до сторони та продовження двох інших сторін:
Площа правильного трикутника:
Усі ці формули можна вивести з теореми Піфагора.
- Правильний трикутник має всі властивості, притаманні правильному багатокутнику та трикутнику.
- Правильний трикутник є одночасно і рівностороннім і рівнокутним (за означенням).
- В правильному трикутнику його висоти збігаються з його медіанами та бісектрисами кутів. Висоти, медіани та бісектриси перетинаються в одній точці - центрі правильного трикутника, яка лежить на його висоті на відстані 1/3 h від основи, тобто точкою перетину діляться у відношенні від основи.
- Центри вписаного та описаного кола збігаються і лежать в центрі правильного трикутника.
- В правильному трикутнику всі чудові точки трикутника знаходяться в його геометричному центрі. Це означає, що рівносторонній трикутник є єдиним трикутником, у якого немає лінії Ейлера.
- Трикутник є рівностороннім, якщо збігаються будь-які два з його центрів:центр описаного кола, інцентр (центр вписаного кола), центроїд або ортоцентр.[1]
- Він також є рівностороннім, якщо його центр описаного кола збігається з точкою Наґеля або якщо його центр вписаного кола збігається з центром кола дев’яти точок.[2]
- В правильному трикутнику коло дев'яти точок збігається з вписаним колом.
- Правильні трикутники є гранями для 8 опуклих багатогранників: трьох тіл Платона (правильного тетраедра, октаедра та ікосаедра), а також п'яти тіл Джонсона. Багатогранники, всі грані яких - правильні трикутники, називаються дельтаедрами.
- Також правильний трикутник є гранню для одного тіла Кеплера-Пуансо, а саме великого ікосаедра.
- Правильний трикутник ‒ один із двох правильних багатокутників, що не має зірчастої форми; інший — квадрат.
- Правильними трикутниками можна замостити площину без проміжків та накладень. Також в усіх напівправильних мозаїках[en] присутній рівносторонній трикутник [3].
- Правильний трикутник є першим в нескінченній родині правильних багатокутників, та третім в нескінченному сімействі n- симплексів, при n = 2.[4]
У будь-якому рівносторонньому трикутнику ABC сума відстаней від будь-якої внутрішньої точки трикутника до його сторін дорівнює висоті трикутника. |
Точки перетину суміжних трисектрис кутів довільного трикутника є вершинами рівностороннього трикутника. |
Якщо на кожній стороні трикутника побудувати рівносторонній трикутник (або всі три назовні, або всі три всередину), то їхні центри будуть вершинами іншого рівностороннього трикутника. |
Для довільного рівностороннього трикутника та довільної точки в його площині відрізки , та є сторонами трикутника (можливо, виродженого). |
- Теореми Тебо 2 и 3
- Для будь-якого трикутника три медіани ділять трикутник на шість менших трикутників.
- Трикутник є рівностороннім тоді і тільки тоді, коли будь-які три менших трикутника мають однаковий периметр або однаковий радіус.[5]
- Трикутник є рівностороннім тоді і тільки тоді, коли центри описаного кола будь-яких трьох менших трикутників знаходяться на однаковій відстані від центроїда.[5]
- На плошині дано трикутник і довільну точку P.
, , ‒ відстані від точки P до сторін трикутника; , , ‒ відстані від точки P до вершин трикутника.
Трикутник є рівностороннім тоді і тільки тоді, коли для кожної точки P площини виконується нерівність:[6]
Рівносторонній трикутник можна накреслити за допомогою циркуля та лінійки. Для цього необхідно виконати такі дії:
- Провести пряму та поставити на неї циркуль гострим кінцем;
- Провести коло;
- Поставити циркуль в одну із точок перетину кола та прямої, провести ще одне коло такого ж радіусу;
- З'єднати прямими центри кіл та точку перетину цих кіл.
Альтернативний спосіб:
- Накреслити коло довільного радіусу;
- Поставити циркуль на це коло і накреслити ще одне коло такого ж радіусу;
- Ці два кола перетинаються в двох точках, кожна з точок перетину разом із центрами кіл утворюють правильні трикутники.
- ↑ Yiu, Paul (1998). Notes on Euclidean Geometry (PDF). Florida Atlantic University, Department of Mathematical Sciences (Course Notes).
- ↑ Andreescu, Titu; Andrica, Dorian (2006). Complex Numbers from A to...Z. Boston, MA: Birkhäuser. с. 70, 113—115. doi:10.1007/0-8176-4449-0. ISBN 978-0-8176-4449-9. OCLC 871539199. S2CID 118951675.
- ↑ Grünbaum Branko; Shepard Geoffrey (November 1977). Tilings by Regular Polygons (PDF). Mathematics Magazine. Taylor & Francis, Ltd. 50 (5): 231–234. doi:10.2307/2689529. JSTOR 2689529. MR 1567647. S2CID 123776612. Zbl 0385.51006.
- ↑ H. S. M. Coxeter (1948). Regular Polytopes. London: Methuen & Co. LTD. с. 120—121. OCLC 4766401. Zbl 0031.06502.
- ↑ а б Cerin, Zvonko (2004). The vertex-midpoint-centroid triangles (PDF). Forum Geometricorum. 4: 97—109.
- ↑ Inequalities proposed in "Crux Mathematicorum" (PDF).
- Бевз Г. П. Геометрія трикутника. — К.: Генеза, 2005. —120 с.: іл. — ISBN 966-504491-1
- Рівносторонній трикутник: означення, властивості, приклади
|
Основні опуклі правильні й однорідні політопи в розмірностях 2-10 | ||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Родина | An | Bn | I₂(p) / Dn | E₆ / E₇ / E₈ / F₄ / G₂ | Hn | |||||||
Правильний многокутник | Правильний трикутник | Квадрат | p-кутник | Правильний шестикутник | Правильний п'ятикутник | |||||||
Однорідний многогранник | Правильний тетраедр | Правильний октаедр • Куб | Півкуб | Правильний додекаедр • Правильний ікосаедр | ||||||||
Однорідний 4-політоп | П'ятикомірник | 16-комірник • Тесеракт | Півтесеракт | 24-комірник | 120-комірник • 600-комірник | |||||||
Однорідний 5-політоп | Правильний 5-симплекс | 5-ортоплекс • 5-гіперкуб | 5-півгіперкуб | |||||||||
Однорідний 6-політоп | Правильний 6-симплекс | 6-ортоплекс • 6-гіперкуб | 6-півгіперкуб | 122 • 221 | ||||||||
Однорідний 7-політоп | Правильний 7-симплекс | 7-ортоплекс • 7-гіперкуб | 7-півгіперкуб | 132 • 231 • 321 | ||||||||
Однорідний 8-політоп | Правильний 8-симплекс | 8-ортоплекс • 8-гіперкуб | 8-півгіперкуб | 142 • 241 • 421 | ||||||||
Однорідний 9-політоп | Правильний 9-симплекс | 9-ортоплекс • 9-гіперкуб | 9-півгіперкуб | |||||||||
Однорідний 10-політоп | Правильний 10-симплекс | 10-ортоплекс • 10-гіперкуб | 10-півгіперкуб | |||||||||
Однорідний n-політоп | Правильный n-симплекс | n-ортоплекс • n-гіперкуб | n-півгіперкуб | 1k2 • 2k1 • k21 | n-п'ятикутний многогранник | |||||||
Topics: Родини політопів • Правильні політопи • Список правильних політопів і з'єднань |