Теорема Міттаг-Лефлера

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Теорема Міттаг-Лефлера — в комплексному аналізі твердження про властивості мероморфних функцій, що визначає існування мероморфних функцій із заданими полюсами і головними частинами ряду Лорана, а також стверджує для довільних мероморфних функцій існування аналогу розкладу раціональної функції на прості дроби.

Твердження теореми

[ред. | ред. код]

Нехай задана скінченна або зліченна послідовність різних комплексних чисел для яких і Нехай також задані функції:

які можна інтерпретувати як головні частини рядів Лорана деяких мероморфних функцій в точках

Тоді існує мероморфна функція для якої є множиною всіх полюсів і головна частина функції в точці є рівною

Якщо ж деяка мероморфна функція має своїми полюсами множину (з властивостей мероморфних функцій випливає, що ця множина є не більш, ніж зліченною) і головна частина функції в точці є рівною то для цієї функції справедливий розклад Міттаг-Лефлера:

де  — деяка ціла функція, а  — деякі многочлени і ряд в правій стороні рівності збігається рівномірно на компактних множинах. В даному випадку ряд називається збіжним (рівномірно збіжним) на компактній множині, якщо лише скінченна кількість його доданків має полюси на цій множині і після видалення цих доданків інші збігаються (рівномірно збігаються) на множині.

Доведення

[ред. | ред. код]

Без обмеження загальності можна вважати, що В іншому разі замість функції можна розглядати функцію

Зафіксуємо дійсне число і позначимо Оскільки функція є голоморфною в крузі і є підмножиною цього круга то можна рівномірно на в наблизити многочленом Тейлора:

де степінь многочлена ми виберемо так, щоб для всіх було

При такому виборі розглянемо ряд .

Для довільної компактної множини існує натуральне число таке що

Тоді всі члени ряду є голоморфними на , і цей ряд мажорується збіжною геометричною прогресією

Отже даний ряд збігається на рівномірно на і за теоремою Вейєрштраса його сума є голоморфною функцією в .

Функція відрізняється від на раціональну функцію

що має полюси в точках і відповідні головні частини рівні

Тобто на множині функція має задані полюси і головні частини. Так як — довільна компактна множина то — мероморфнамфункція і має в задані полюси і головні частини.

Якщо тепер — довільна мероморфна функція, що немає полюса в нулі (в іншому разі знову ж можна розглядати функцію ) то позначивши її полюси так що і побудувавши, як і вище суму ряду отримуємо, що різниця є цілою функцією, що завершує доведення.

Приклади розкладу Міттаг-Лефлера

[ред. | ред. код]

Нижче подні приклади розкладу Міттаг-Лефлера для деяких мероморфних функцій:

Див. також

[ред. | ред. код]

Посилання

[ред. | ред. код]
  • Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), theorem Mittag-Leffler theorem, Математична енциклопедія, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4

Джерела

[ред. | ред. код]
  • Шабат, Б. В. (1976), Введение в комплексный анализ, ч. I, «Наука»
  • Greene, Robert E.; Krantz, Steven G. (2002), Function Theory of One Complex Variable (вид. 2nd), American Mathematical Society, ISBN 0-8218-2905-X