Теорема Піка (комплексний аналіз)

Теорема Піка, або теорема Шварца — Піка — інваріантне формулювання та узагальнення леми Шварца.

Формулювання

Нехай $w=f(z)$ — регулярна аналітична функція з одиничного круга в одиничний круг

$Q=\left\{z\in \mathbb {C} :|z|<1\right\};\;f:Q\to Q.$

Тоді для будь-яких точок $z_{1}$ і $z_{2}$ круга $Q$ відстань у конформно-евклідовій моделі площини Лобачевського між їх образами не перевищує відстані між ними:

$d(w_{1},\;w_{2})\leq d(z_{1},\;z_{2}),\ \ w_{1}=f(z_{1}),\ w_{2}=f(z_{2})$.

Більш того, рівність досягається тільки в тому випадку, коли $w=f(z)$ є дробово-лінійною функцією, яка відображає коло $Q$ на себе.

Зауваження

Оскільки

$\mathop {\rm {th}} [{\tfrac {1}{2}}\cdot d(z,\;w)]={\frac {\left|z-w\right|}{\left|1-{\overline {z}}\cdot w\right|}},$

умова

$d(w_{1},\;w_{2})\leqslant d(z_{1},\;z_{2})$

еквівалентна такій нерівності:

$\left|{\frac {f(z_{1})-f(z_{2})}{1-{\overline {f(z_{1})}}f(z_{2})}}\right|\leqslant {\frac {\left|z_{1}-z_{2}\right|}{\left|1-{\overline {z_{1}}}z_{2}\right|}}.$

Якщо $z_{1}$ і $z_{2}$ нескінченно близькі, вона перетворюється на

${\frac {\left|f'(z)\right|}{1-\left|f(z)\right|^{2}}}\leqslant {\frac {1}{1-\left|z\right|^{2}}}.$

Література

• Pick G. Mathematische Annalen. — 1916. — Bd 77. — S. 1—6.
• Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. — 2 вид. — М., 1966.