Числа Ейлера — у математиці — послідовність e n цілих чисел (послідовність A122045 в OEIS), що визначається розкладанням ряду Тейлора, де cosht — гіперболічний косинус.
,
- Числа Ейлера пов'язані зі спеціальним значенням многочленів Ейлера, а саме:
![{\displaystyle E_{n}=2^{n}E_{n}({\tfrac {1}{2}}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d5c7e279225f2ec5e0947c7b2bf46dea201250f)
- Числа Ейлера з'являються в розширеннях ряду Тейлора секансом і гіперболічним секансом функцій. Останнє є функцією у визначенні. Вони також зустрічаються в комбінаториці, зокрема при підрахунку кількості перестановок множини з парним числом елементів, які чергуються.
Непарні індексовані числа Ейлера дорівнюють нулю. Парні індексовані (послідовність A028296 в OEIS) мають змінні знаки. Деякі значення
E0 |
= |
1
|
E2 |
= |
−1
|
E4 |
= |
5
|
E6 |
= |
−61
|
E8 |
= |
1385
|
E10 |
= |
−50521
|
E12 |
= |
2702765
|
E14 |
= |
−199360981
|
E16 |
= |
19391512145
|
E18 |
= |
−2404879675441
|
Деякі автори повторно індексують послідовність, щоб пропустити непарні числа Ейлера з нульовим значенням, або змінити всі знаки на позитивні. Ця стаття дотримується прийнятої вище угоди.
Явною формулою для номерів Ейлера є:[1]
![{\displaystyle E_{2n}=i\sum _{k=1}^{2n+1}\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}{\frac {(-1)^{j}(k-2j)^{2n+1}}{2^{k}i^{k}k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/169e19b305161f9398ec2291ee750e39b351f34d)
де i означає уявну одиницю з i2 = −1.
Число Ейлера E2n можна виразити у вигляді суми над парним розбиттям 2n,[2]
![{\displaystyle E_{2n}=(2n)!\sum _{0\leq k_{1},\ldots ,k_{n}\leq n}\left({\begin{array}{c}K\\k_{1},\ldots ,k_{n}\end{array}}\right)\delta _{n,\sum mk_{m}}\left(-{\frac {1}{2!}}\right)^{k_{1}}\left(-{\frac {1}{4!}}\right)^{k_{2}}\cdots \left(-{\frac {1}{(2n)!}}\right)^{k_{n}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e31cf780ec704bcdd996932fef5d715679c19b79)
а також суму за непарним розбиттям 2n − 1,[3]
![{\displaystyle E_{2n}=(-1)^{n-1}(2n-1)!\sum _{0\leq k_{1},\ldots ,k_{n}\leq 2n-1}\left({\begin{array}{c}K\\k_{1},\ldots ,k_{n}\end{array}}\right)\delta _{2n-1,\sum (2m-1)k_{m}}\left(-{\frac {1}{1!}}\right)^{k_{1}}\left({\frac {1}{3!}}\right)^{k_{2}}\cdots \left({\frac {(-1)^{n}}{(2n-1)!}}\right)^{k_{n}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3abc423bff775fd70a409cfa37d05d642e60a1a9)
де в обох випадках K = k1 + ··· + kn та
![{\displaystyle \left({\begin{array}{c}K\\k_{1},\ldots ,k_{n}\end{array}}\right)\equiv {\frac {K!}{k_{1}!\cdots k_{n}!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44b161d946f888d7b690c7d22259f8543652fdb1)
є багаточленним коефіцієнтом. Дельта Кронекера у вищенаведених формулах обмежує суми над ks to 2k1 + 4k2 + ··· + 2nkn = 2n та до k1 + 3k2 + ··· + (2n − 1)kn = 2n − 1, відповідно.
Як приклад,
![{\displaystyle {\begin{aligned}E_{10}&=10!\left(-{\frac {1}{10!}}+{\frac {2}{2!\,8!}}+{\frac {2}{4!\,6!}}-{\frac {3}{2!^{2}\,6!}}-{\frac {3}{2!\,4!^{2}}}+{\frac {4}{2!^{3}\,4!}}-{\frac {1}{2!^{5}}}\right)\\&=9!\left(-{\frac {1}{9!}}+{\frac {3}{1!^{2}\,7!}}+{\frac {6}{1!\,3!\,5!}}+{\frac {1}{3!^{3}}}-{\frac {5}{1!^{4}\,5!}}-{\frac {10}{1!^{3}\,3!^{2}}}+{\frac {7}{1!^{6}\,3!}}-{\frac {1}{1!^{9}}}\right)\\&=-50\,521.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07ac9fee535e81260fdcab4bb063a735a0a58818)
E2n також дається визначником
![{\displaystyle {\begin{aligned}E_{2n}&=(-1)^{n}(2n)!~{\begin{vmatrix}{\frac {1}{2!}}&1&~&~&~\\{\frac {1}{4!}}&{\frac {1}{2!}}&1&~&~\\\vdots &~&\ddots ~~&\ddots ~~&~\\{\frac {1}{(2n-2)!}}&{\frac {1}{(2n-4)!}}&~&{\frac {1}{2!}}&1\\{\frac {1}{(2n)!}}&{\frac {1}{(2n-2)!}}&\cdots &{\frac {1}{4!}}&{\frac {1}{2!}}\end{vmatrix}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7fdbac6c55a0760f3163eeb56bcdc953d9f8151)
Числа Ейлера швидко зростають для великих індексів, оскільки вони мають нижню межу
![{\displaystyle |E_{2n}|>8{\sqrt {\frac {n}{\pi }}}\left({\frac {4n}{\pi e}}\right)^{2n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/496e620eedd34b8c2b0882344abc01b0e2b3cc95)
Ряд Тейлора sec x + tan x є
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {A_{n}}{n!}}x^{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d8594a2cf828856a29e9a425e8e38ee65e98323)
де An — зигзагоподібні числа Ейлера[en], починаючи з
1, 1, 1, 2, 5, 16, 61, 272, 1385, 7936, 50521, 353792, 2702765, 22368256, 199360981, 1903757312, 19391512145, 209865342976, 2404879675441, 29088885112832, … (послідовність A000111 в OEIS)
Для всіх парних n,
![{\displaystyle A_{n}=(-1)^{\frac {n}{2}}E_{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b28e5b8475925656a47fce39ef6b2f80e365376)
де En — число Ейлера; і для всіх непарних n,
![{\displaystyle A_{n}=(-1)^{\frac {n-1}{2}}{\frac {2^{n+1}\left(2^{n+1}-1\right)B_{n+1}}{n+1}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ec0b17888279c88e3b90cb51470aa4ab5fb0fff)
де Bn — число Бернуллі.
Для кожного n,
[джерело?]