向量算子是指向量分析中使用的微分算子。向量算子使用Nabla算符定义,包括梯度、散度和旋度。
![{\displaystyle \operatorname {grad} \equiv \nabla }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9850f0dbdcc505aba4ef2f18ab1d207df8e4b524)
![{\displaystyle \operatorname {div} \ \equiv \nabla \cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f4cb567abf491da897ae93ab1b720ae029b0bd3)
![{\displaystyle \operatorname {curl} \equiv \nabla \times }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbc7a70491c971359da5cc7455443777d807f10a)
拉普拉斯算符表示为:
![{\displaystyle \nabla ^{2}\equiv \operatorname {div} \ \operatorname {grad} \equiv \nabla \cdot \nabla }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7069c01020e61214339005f7585c8f150cb26922)
向量算子必须写在它们所运算的标量场或向量场的左侧,例如:
![{\displaystyle \nabla f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7b4d6de89b52c5a5e6e1583cb63eaee263e307b)
得到f的梯度,但是
![{\displaystyle f\nabla }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46a15cebd3b96dfc30df10b5c6da520b578ab3eb)
是另一个向量算子,没有对任何量进行运算。
一个向量算子可对另一个向量算子进行运算,得到一个复合向量算子,例如上面的拉普拉斯算符。
令
為空間位置
的多變數純量函數 ,例如:
![{\displaystyle U(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5132e7d039bcf3436463f8840047cf116ac3a38)
表示了一個球面,這是一個标量场,其中每點的值等於該球半徑的平方。
令
為空間位置
的向量函數 ,它可以被拆成三個分量,寫成以下的向量形式:
![{\displaystyle V(x,y,z)=V_{x}(x,y,z){\hat {i}}+V_{y}(x,y,z){\hat {j}}+V_{z}(x,y,z){\hat {k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f44941fc6360e0a6a806351c8c731f720aa7cf73)
純量函數
在三維笛卡兒坐標系的各個座標軸上有以下變率:
![{\displaystyle {\frac {\partial U}{\partial x}},{\frac {\partial U}{\partial y}},{\frac {\partial U}{\partial z}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6223ef84efdbf88fbdfaa5f64263873565ce3604)
因為是沿著座標軸的變率,所以可以寫成分量形式:
![{\displaystyle {\frac {\partial U}{\partial x}}{\hat {i}},{\frac {\partial U}{\partial y}}{\hat {j}},{\frac {\partial U}{\partial z}}{\hat {k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/355137078b0c53ffe88ada7bb138a635cb139dba)
其加總即為
的組合變率:
![{\displaystyle {\frac {\partial U}{\partial x}}{\hat {i}}+{\frac {\partial U}{\partial y}}{\hat {j}}+{\frac {\partial U}{\partial z}}{\hat {k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6620c1f309028a7b8e4c692d8701c16af194d4c0)
如同微分算子
被用來表示某函數的導數,例如
或
,我們使用
來表示組合變率:
![{\displaystyle \nabla U={\frac {\partial U}{\partial x}}{\hat {i}}+{\frac {\partial U}{\partial y}}{\hat {j}}+{\frac {\partial U}{\partial z}}{\hat {k}}=V(x,y,z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/428a4688e3d199c329da6db2dc18e42768533ce1)
其中
為一向量函數。組合變率
稱為
的導數(derivative),
則稱為
的本原(primitive)。
本身是一個向量函數。在幾何與物理上,它指向變化速率最大的那個方向,在這個意義上,它被稱為
的梯度、或斜率。
我們可以把
當作一個函數,唸為
,記為
,它接受一個純量函數,並傳回一個向量函數。其運算式為:
,因此:
![{\displaystyle \nabla U=\left({\frac {\partial }{\partial x}}{\hat {i}}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\hat {j}}+{\frac {\partial }{\partial z}}{\hat {k}}\right)(U)={\frac {\partial U}{\partial x}}{\hat {i}}+{\frac {\partial U}{\partial y}}{\hat {j}}+{\frac {\partial U}{\partial z}}{\hat {k}}=\operatorname {grad} U}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/205d075a17e2997e0119c7d8acb20c4c5eb3dbab)
將
當作一個形式上的向量,則可以用向量的內積與叉積導出散度與旋度。
將
當作一個形式向量,與向量函數
做內積:
![{\displaystyle \nabla \cdot V=\left({\frac {\partial }{\partial x}}{\hat {i}}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\hat {j}}+{\frac {\partial }{\partial z}}{\hat {k}}\right)\cdot \left(V_{x}{\hat {i}}+V_{y}{\hat {j}}+V_{z}{\hat {k}}\right)={\frac {\partial V_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial V_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial V_{z}}{\partial z}}=U(x,y,z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4169018771f9d9d16bdb6c50c72f825a10582a96)
這裡得到一個純量函數
,稱為
的散度。
我們也可以將
當作一個算子,唸為
,記為
,它接受一個向量函數,但是傳回一個純量函數:
![{\displaystyle \nabla \cdot V=\operatorname {div} V={\hat {i}}\cdot {\frac {\partial V}{\partial x}}+{\hat {j}}\cdot {\frac {\partial V}{\partial y}}+{\hat {k}}\cdot {\frac {\partial V}{\partial z}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adeb0d605b2ba19857c250d6c272001f339ccc1f)
將
當作一個形式向量,與向量函數
做叉積:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times V&=\left({\frac {\partial }{\partial x}}{\hat {i}}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\hat {j}}+{\frac {\partial }{\partial z}}{\hat {k}}\right)\times \left(V_{x}{\hat {i}}+V_{y}{\hat {j}}+V_{z}{\hat {k}}\right)\\&={\hat {i}}\left({\frac {\partial V_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial V_{y}}{\partial z}}\right)+{\hat {j}}\left({\frac {\partial V_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial V_{z}}{\partial x}}\right)+{\hat {k}}\left({\frac {\partial V_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial V_{x}}{\partial y}}\right)={\begin{vmatrix}{\hat {i}}&{\hat {j}}&{\hat {k}}\\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\V_{x}&V_{y}&V_{z}\end{vmatrix}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5469480d1196563eecf47681393b1e552c5dbc8b)
這裡得到一個向量函數,稱為
的旋度。
我們也可以將
當作一個算子,唸為
,記為
,它接受一個向量函數,並傳回一個向量函數:
![{\displaystyle \nabla \times V=\operatorname {curl} V={\hat {i}}\times {\frac {\partial V}{\partial x}}+{\hat {j}}\times {\frac {\partial V}{\partial y}}+{\hat {k}}\times {\frac {\partial V}{\partial z}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a75fa3dba1c31021455ef3cbaa65b01e1f97afc)
對一個純量函數做梯度運算,可以得到一個向量函數,再對該向量函數做散度運算,又得回一個純量函數,稱為梯度的散度:
![{\displaystyle \nabla \cdot \nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x}}{\hat {i}}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\hat {j}}+{\frac {\partial }{\partial z}}{\hat {k}}\right)\cdot \left({\frac {\partial }{\partial x}}{\hat {i}}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\hat {j}}+{\frac {\partial }{\partial z}}{\hat {k}}\right)={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfcbd18e5264cf3f317e734ba684270cc1e4ece7)
這稱為拉普拉斯算子,記為
或者
,它接受一個純量函數,並傳回一個純量函數。
- H. M. Schey (1996) Div, Grad, Curl, and All That: An Informal Text on Vector Calculus, ISBN 0-393-96997-5.