Loi de Xenakis
Loi de Xenakis | |
![]() Fonction de répartition Fonction de répartition de la loi de Xenakis de paramètre 1; elle est proche de celle d'une loi exponentielle de paramètre e | |
Paramètres | |
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Support | |
Densité de probabilité | pour |
Fonction de répartition | pour |
Espérance | |
Médiane | |
Mode | 0 |
Variance | |
Asymétrie | |
Kurtosis normalisé | |
Entropie | |
Fonction génératrice des moments | |
Fonction caractéristique | |
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La loi de Xenakis est la loi d'une variable aléatoire positive, utilisée par Iannis Xenakis en musique stochastique, par exemple pour les durées des notes et leur variation de hauteur[1].
Définition
[modifier | modifier le code]La loi de Xenakis est la loi de la longueur d'un segment inclus dans un segment de longueur a[2]. C'est donc une loi triangulaire de paramètres 0, a et 0.
Propriétés
[modifier | modifier le code]Densité
[modifier | modifier le code]La densité de la loi de Xenakis est, dans sa forme standard, une fonction affine sur [0 , a] s'annulant en a.
Le paramètre a est donc un paramètre d'échelle ; la forme standard de la loi de Xenakis ne présente pas de paramètre de position.
Fonction de répartition
[modifier | modifier le code]La fonction de répartition de la loi de Xenakis est du second degré. Par conséquent, on peut simuler celle-ci à l'aide d'une loi uniforme continue. En effet, si X est une variable aléatoire uniforme sur [0 ; 1], est une variable aléatoire de Xenakis de paramètre a.
Loi de Xenakis de paramètres affines fixés
[modifier | modifier le code]Loi de Xenakis de paramètre 1
[modifier | modifier le code]La loi de Xenakis sur [0 ; 1] est une loi bêta de paramètres 1 et 2. On peut donc définir la loi de Xenakis de paramètre 1 comme la loi du minimum de deux variables aléatoires uniformes sur [0 ; 1].
Loi de Xenakis centrée réduite
[modifier | modifier le code]La loi de Xenakis centrée réduite, donc d’espérance 0 et d’écart type 1, est définie sur par :
- .
Distributions associées
[modifier | modifier le code]- Le minimum de deux variables aléatoires de Xenakis de paramètre 1 suit une loi bêta de paramètres 1 et 4.
Simulation
[modifier | modifier le code]Pour simuler une variable de Xenakis de paramètre 1 à partir de variables uniformes sur [0 ; 1], on a le choix entre trois méthodes :
- la définition, en rappelant que la distance entre deux nombres est la valeur absolue de leur différence ;
- Le fait qu'une variable de Xenakis est une variable de loi bêta, le minimum de deux nombres étant assez rapide à calculer (cette façon de faire n'était apparemment pas connue de Xenakis) ;
- l'utilisation de l'inverse de la fonction de répartition, qui est d'ailleurs celle utilisée par Xenakis[3].
Notes et références
[modifier | modifier le code]- Iannis Xenakis, Musiques formelles : nouveaux principes formels de composition musicale, Paris, Stock/Musique, , 260 p. (ISBN 2-234-01510-3, BNF 36143274), Annexe
- Musiques formelles, chapitre 1
- Musiques formelles, appendice
- « Musiques formelles »(Archive.org • Wikiwix • Archive.is • Google • Que faire ?), sur iannis-xenakis.org (consulté le )