Loi normale repliée
Loi normale repliée | |
![]() Densité de probabilité | |
![]() Fonction de répartition | |
Paramètres | — (paramètre de position) — (paramètre d'échelle) |
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Support | |
Densité de probabilité | (voir l'article) |
Fonction de répartition | (voir l'article) |
Espérance | (voir l'article) |
Variance | (voir l'article) |
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En théorie des probabilités et en statistique, la loi normale repliée (ou loi de défaut de forme[1]) est une loi de probabilité continue liée à la loi normale. Considérons une variable aléatoire de loi normale avec moyenne et variance , alors la variable aléatoire est de loi normale repliée. Ainsi on ne comptabilise que la valeur de la variable mais pas son signe.
Le terme « repliée » vient du fait que la densité de la loi « à gauche » de x=0 est repliée sur la partie « à droite » de x=0 en prenant la valeur absolue.
Caractérisations
[modifier | modifier le code]Fonction de densité
[modifier | modifier le code]La densité de probabilité est donnée par :
Fonction de répartition
[modifier | modifier le code]La fonction de répartition est donnée par :
En utilisant le changement de variable , on peut réécrire
De manière similaire, en utilisant le changement de variable dans la première intégrale et dans la deuxième, on peut écrire
où erf est la fonction d'erreur. On retrouve alors la loi demi-normale quand μ = 0.
Propriétés
[modifier | modifier le code]L'espérance est donnée par :
où Φ(•) est la fonction de répartition de la loi normale standard.
La variance est donnée par :
Ces deux valeurs, espérance et variance, peuvent être vues comme les paramètres de position et d'échelle de la nouvelle loi.
Liens avec d'autres lois
[modifier | modifier le code]- Quand μ = 0, la loi normale repliée est la loi demi-normale.
- Si Y est de loi normale repliée, Y/σ suit une loi du χ non centrée avec un degré de liberté et de paramètre μ/σ.
Références
[modifier | modifier le code]- H. Sombstay et T. Nguyen Huu, « Variabilité d'une fabrication en tenant compte des défauts de forme », Revue de statistique appliquée, vol. 6, no 1, , p. 17-36 (lire en ligne)
- (en) FC Leone, RB Nottingham et LS Nelson, « The Folded Normal Distribution », Technometrics, Taylor & Francis, Ltd., vol. 3, no 4, , p. 543–550 (DOI 10.2307/1266560, JSTOR 1266560)
- (en) NL Johnson, « The folded normal distribution: accuracy of the estimation by maximum likelihood », Technometrics, Taylor & Francis, Ltd., vol. 4, no 2, , p. 249–256 (DOI 10.2307/1266622, JSTOR 1266622)
- (en) LS Nelson, « The Folded Normal Distribution », Journal of Quality Technology, vol. 12, no 4, , p. 236–238 (DOI 10.1080/00224065.1980.11980971)
- (en) RC Elandt, « The folded normal distribution: two methods of estimating parameters from moments », Technometrics, Taylor & Francis, Ltd., vol. 3, no 4, , p. 551–562 (DOI 10.2307/1266561, JSTOR 1266561)
- (en) PC Lin, « Application of the generalized folded-normal distribution to the process capability measures », The International Journal of Advanced Manufacturing Technology, vol. 26, nos 7–8, , p. 825–830 (DOI 10.1007/s00170-003-2043-x)