미적분학 에서 디리클레 판정법 (영어 : Dirichlet's test )은 실수 항 급수 의 수렴 판정법 의 하나다. 이에 따르면, 유계 부분합 을 갖는 급수에 0으로 수렴하는 단조수열 을 계수로서 곱한 급수는 수렴한다. 교대급수 판정법 을 일반화한다. 디리클레 판정법의 표준적인 증명은 유한합의 아벨 변환 을 사용한다. 이상 적분 에 대한 디리클레 판정법은 제2 적분 평균값 정리 를 통하여 보일 수 있는데, 이에 대한 증명은 아벨 변환 을 필요로 한다.
두 실수 수열
(
a
n
)
n
=
0
∞
{\displaystyle (a_{n})_{n=0}^{\infty }}
,
(
b
n
)
n
=
0
∞
{\displaystyle (b_{n})_{n=0}^{\infty }}
이 다음 세 조건을 만족시킨다고 하자.
급수
∑
n
=
0
∞
a
n
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}
의 부분합 은 유계 수열 이다. 즉,
sup
n
∈
N
|
∑
k
=
0
n
a
k
|
<
∞
{\displaystyle \sup _{n\in \mathbb {N} }\left|{\sum _{k=0}^{n}a_{k}}\right|<\infty }
(
b
n
)
n
=
0
∞
{\displaystyle (b_{n})_{n=0}^{\infty }}
은 단조수열 이다. 즉,
b
0
≥
b
1
≥
b
2
≥
⋯
{\displaystyle b_{0}\geq b_{1}\geq b_{2}\geq \cdots }
이거나
b
0
≤
b
1
≤
b
2
≤
⋯
{\displaystyle b_{0}\leq b_{1}\leq b_{2}\leq \cdots }
lim
n
→
∞
b
n
=
0
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n}=0}
디리클레 판정법 에 따르면, 급수
∑
n
=
0
∞
a
n
b
n
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}b_{n}}
는 수렴 한다.[1] :182 [2] :315, °2
두 실수 값 함수
f
,
g
:
[
a
,
∞
)
→
R
{\displaystyle f,g\colon [a,\infty )\to \mathbb {R} }
가 다음 세 조건을 만족시킨다고 하자.
f
{\displaystyle f}
는 임의의
[
a
,
b
]
⊆
[
a
,
∞
)
{\displaystyle [a,b]\subseteq [a,\infty )}
에서 리만 적분 가능하며, 또한
sup
x
∈
[
a
,
∞
)
|
∫
a
x
f
(
t
)
d
t
|
<
∞
{\displaystyle \sup _{x\in [a,\infty )}\left|\int _{a}^{x}f(t)\,dt\right|<\infty }
g
{\displaystyle g}
는 단조함수 이다. (특히,
g
{\displaystyle g}
는 임의의
[
a
,
b
]
⊆
[
a
,
∞
)
{\displaystyle [a,b]\subseteq [a,\infty )}
에서 리만 적분 가능하다.)
lim
x
→
∞
g
(
x
)
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }g(x)=0}
그렇다면, 이상 적분
∫
a
∞
f
(
x
)
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)g(x)\,dx}
는 수렴한다.
M
=
1
+
sup
x
∈
[
a
,
∞
)
|
∫
a
x
f
(
t
)
d
t
|
∈
R
+
{\displaystyle M=1+\sup _{x\in [a,\infty )}\left|\int _{a}^{x}f(t)\,dt\right|\in \mathbb {R} ^{+}}
이라고 하자. 임의의
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
에 대하여,
|
g
(
x
)
|
<
ϵ
4
M
(
∀
x
>
N
(
ϵ
)
)
{\displaystyle |g(x)|<{\frac {\epsilon }{4M}}\qquad (\forall x>N(\epsilon ))}
인
N
(
ϵ
)
>
a
{\displaystyle N(\epsilon )>a}
가 존재한다. 제2 적분 평균값 정리 에 따라, 임의의
y
>
x
>
N
(
ϵ
)
{\displaystyle y>x>N(\epsilon )}
에 대하여, 어떤
c
(
x
,
y
)
∈
[
x
,
y
]
{\displaystyle c(x,y)\in [x,y]}
가 존재하며, 다음이 성립한다.
|
∫
x
y
f
(
t
)
g
(
t
)
d
t
|
=
|
g
(
x
)
∫
x
c
(
x
,
y
)
f
(
t
)
d
t
+
g
(
y
)
∫
c
(
x
,
y
)
y
f
(
t
)
d
t
|
≤
ϵ
4
M
(
|
∫
a
c
(
x
,
y
)
f
(
t
)
d
t
−
∫
a
x
f
(
t
)
d
t
|
+
|
∫
a
y
f
(
t
)
d
t
−
∫
a
c
(
x
,
y
)
f
(
t
)
d
t
|
)
≤
ϵ
4
M
(
2
M
+
2
M
)
=
ϵ
{\displaystyle {\begin{aligned}\left|\int _{x}^{y}f(t)g(t)\,dt\right|&=\left|g(x)\int _{x}^{c(x,y)}f(t)\,dt+g(y)\int _{c(x,y)}^{y}f(t)\,dt\right|\\&\leq {\frac {\epsilon }{4M}}\left(\left|\int _{a}^{c(x,y)}f(t)\,dt-\int _{a}^{x}f(t)\,dt\right|+\left|\int _{a}^{y}f(t)\,dt-\int _{a}^{c(x,y)}f(t)\,dt\right|\right)\\&\leq {\frac {\epsilon }{4M}}(2M+2M)\\&=\epsilon \end{aligned}}}
따라서, 이상 적분
∫
a
∞
f
(
x
)
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)g(x)\,dx}
은 수렴한다.
집합
X
{\displaystyle X}
및 두 함수열
(
f
n
,
g
n
:
X
→
R
)
n
=
0
∞
{\displaystyle (f_{n},g_{n}\colon X\to \mathbb {R} )_{n=0}^{\infty }}
이 다음 세 조건을 만족시킨다고 하자.
함수 항 급수
∑
n
=
0
∞
f
n
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}}
의 부분합은 균등 유계 함수열 이다. 즉,
sup
n
∈
N
sup
x
∈
X
|
∑
i
=
0
n
f
i
(
x
)
|
<
∞
{\displaystyle \sup _{n\in \mathbb {N} }\sup _{x\in X}\left|\sum _{i=0}^{n}f_{i}(x)\right|<\infty }
임의의
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
에 대하여,
(
g
n
(
x
)
)
n
=
0
∞
{\displaystyle (g_{n}(x))_{n=0}^{\infty }}
은 단조수열 이다.
(
g
n
)
n
=
0
∞
{\displaystyle (g_{n})_{n=0}^{\infty }}
은
0
:
X
→
R
{\displaystyle 0\colon X\to \mathbb {R} }
로 균등 수렴 한다.
그렇다면, 급수
∑
n
=
0
∞
f
n
g
n
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}g_{n}}
는 균등 수렴 한다. 이에 대한 증명은 실수 항 급수에 대한 디리클레 판정법의 증명과 유사하다.
X
{\displaystyle X}
가 한원소 집합 인 경우, 이는 단순히 실수 항 급수에 대한 디리클레 판정법이다.
임의의 0으로 수렴하는 단조수열
(
a
n
)
n
=
0
∞
{\displaystyle (a_{n})_{n=0}^{\infty }}
에 대하여, 교대급수
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
a
n
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}}
는 수렴한다 (교대급수 판정법 ). 이는 급수
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}}
의 부분합
∑
i
=
0
n
(
−
1
)
i
=
{
1
n
∈
2
Z
0
n
∈
2
Z
+
1
(
n
∈
N
)
{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}={\begin{cases}1&n\in 2\mathbb {Z} \\0&n\in 2\mathbb {Z} +1\end{cases}}\qquad (n\in \mathbb {N} )}
이 유계 수열 이기 때문이다.
마찬가자로, 0으로 수렴하는 단조수열
(
a
n
)
n
=
1
∞
{\displaystyle (a_{n})_{n=1}^{\infty }}
및
x
∈
R
{\displaystyle x\in \mathbb {R} }
에 대하여,
급수
∑
n
=
1
∞
a
n
sin
n
x
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\sin nx}
는 수렴한다.
만약
x
∉
2
π
Z
{\displaystyle x\not \in 2\pi \mathbb {Z} }
라면, 급수
∑
n
=
1
∞
a
n
cos
n
x
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\cos nx}
는 수렴한다.
이는
∑
i
=
1
n
sin
i
x
=
{
0
x
∈
π
Z
(
cos
(
x
/
2
)
−
cos
(
(
n
+
1
/
2
)
x
)
)
/
(
2
sin
(
x
/
2
)
)
x
∉
π
Z
(
n
∈
Z
+
)
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sin ix={\begin{cases}0&x\in \pi \mathbb {Z} \\(\cos(x/2)-\cos((n+1/2)x))/(2\sin(x/2))&x\not \in \pi \mathbb {Z} \end{cases}}\qquad (n\in \mathbb {Z} ^{+})}
가 유계 수열 이며,
∑
i
=
1
n
cos
i
x
=
{
n
x
∈
2
π
Z
(
sin
(
(
n
+
1
/
2
)
x
)
−
sin
(
x
/
2
)
)
/
(
2
sin
(
x
/
2
)
)
x
∉
2
π
Z
(
n
∈
Z
+
)
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\cos ix={\begin{cases}n&x\in 2\pi \mathbb {Z} \\(\sin((n+1/2)x)-\sin(x/2))/(2\sin(x/2))&x\not \in 2\pi \mathbb {Z} \end{cases}}\qquad (n\in \mathbb {Z} ^{+})}
가
x
∉
2
π
Z
{\displaystyle x\not \in 2\pi \mathbb {Z} }
일 때 유계 수열 이기 때문이다. 또한, 다음 두 조건이 서로 동치 이다.
∑
n
=
1
∞
|
a
n
sin
n
x
|
<
∞
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}\sin nx|<\infty }
x
∈
π
Z
{\displaystyle x\in \pi \mathbb {Z} }
이거나,
∑
n
=
1
∞
|
a
n
|
<
∞
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|<\infty }
마찬가지로, 다음 두 조건이 동치 이다.
∑
n
=
1
∞
|
a
n
cos
n
x
|
<
∞
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}\cos nx|<\infty }
∑
n
=
1
∞
|
a
n
|
<
∞
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|<\infty }
작자 페터 구스타프 르죈 디리클레 의 사후인 1862년 《순수 및 응용수학 저널 》(Journal de Mathématiques Pures et Appliquées )에 게재되었다.[3]
↑ 가 나 김락중; 박종안; 이춘호; 최규흥 (2007). 《해석학 입문》 3판. 경문사. ISBN 978-8-96-105054-8 .
↑ Knopp, Konrad (1951). 《Theory and application of infinite series》 (영어). 번역 Young, R. C. H.. Translated from the 2nd edition and revised in accordance with the fourth by R. C. H. Young. 2판. London–Glasgow: Blackie & Son. Zbl 0042.29203 .
↑ Démonstration d’un théorème d’Abel . Journal de mathématiques pures et appliquées 2nd series, tome 7 (1862), pp. 253-255 Archived 2011년 7월 21일 - 웨이백 머신 .