본문으로 이동

부분 적분

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
(부분적분에서 넘어옴)

미적분학에서 부분 적분(部分積分, 영어: integration by parts)은 두 함수의 곱을 적분하는 기법이다.[1][2][3][4][5]

정의

[편집]

만약 가 구간이며 연속 미분 가능 함수라면 (도함수 연속 함수라면), 다음이 성립한다.[2]:292

이를 를 통해 간략히 쓰면 다음과 같다.

만약 연속 미분 가능 함수라면, 다음이 성립한다.[2]:292, Theorem 7.1

증명

[편집]

곱의 법칙에 따라 다음이 성립한다.

양변은 모두 연속 함수이므로 부정적분이 존재한다. 양변에 부정적분을 취하면 다음을 얻으므로 부정적분에 대한 명제가 성립한다.[3]:79

또한 양변은 모두 적분 가능하며, 양변에 적분을 취하면 다음을 얻으므로 정적분의 경우가 성립한다.[2]:292

LIATE 법칙 (또는 로.다.삼.지 법칙)

[편집]

이 명제에서는 주어진 적분에서 를 선택하는 방법을 밝히지는 않는데, 보통 도함수가 비교적 간단한 부분을 로 두거나, 원함수가 비교적 간단한 부분을 으로 두는 것이 좋다. 도함수가 자기 자신보다 단순한 정도에 따라, 두 함수 가운데 로그 함수, 역삼각 함수, 대수적 함수, 삼각 함수, 지수 함수에서 먼저 나오는 유형에 속하는 하나를 로 삼는 법칙을 제시한 저자도 존재하며, 이러한 법칙을 함수 유형들의 첫자들을 따 LIATE 법칙(영어: LIATE rule)이라고 부른다. 즉 로그함수, 역삼각함수, 다항함수, 삼각함수, 지수함수 순으로 '왼쪽 방향'으로 갈수록 미분에 용이하며, '오른쪽 방향'으로 갈수록 적분에 용이하다는 것이다.[6] 그러나 이 법칙은 때로 옳지 않을 수 있다.

따름정리

[편집]

만약 가 구간이며 번 연속 미분 가능 함수라면 (계 도함수 이 연속 함수라면), 다음이 성립한다.[3]:101, Exercise 46

이는 부분 적분을 반복하여 증명할 수 있다. 이러한 적분을 풀 때에는 보통 이 공식에 대입하는 대신 부분 적분을 직접 반복하거나 표를 사용한다.

[편집]

첫째 예

[편집]

부정적분

을 구하자. 이며 라고 하자. 그러면 이며 (상수차를 무시하면) 이다. 부분 적분을 적용하면 다음을 얻는다.[1]:516, Example 2

둘째 예

[편집]

부정적분

를 구하자. 이며 라고 하자. 그러면 이며 이다. 부분 적분을 적용하면 다음을 얻는다.[3]:87, Example 7.10

셋째 예

[편집]

부정적분

을 구하자. 이며 라고 하자. 그러면 이며 이다. 부분 적분을 적용하면 다음을 얻는다.

우변의 마지막 항의 적분에서 , , , 라고 하여 다시 부분 적분을 적용하면 다음을 얻는다.

따라서 구하려는 적분은 다음과 같다.[1]:518, Example 4

넷째 예

[편집]

부정적분

을 구하자. 이며 라고 하자. 그러면 이며 이다. 부분 적분을 적용하면 다음을 얻는다.[4]:

따라서 구하려는 적분은 다음과 같다.[4]:256, 예6.2.21

다섯째 예

[편집]

다음과 같은 두 적분을 구하자.

이 둘에 각각 부분 적분을 적용하면 다음을 얻는다.

즉, 다음과 같은 연립 방정식이 성립한다.

따라서 구하려는 적분은 다음과 같다.[4]:256, 예6.2.22

여섯째 예

[편집]

다음과 같은 적분을 구하자.

다음과 같은 부분 적분을 사용하자 (구하려는 적분에 직접 적용하지 않았음에 주의하자).

따라서 구하려는 적분은 다음과 같다.[4]:258, 예6.2.26

같이 보기

[편집]

각주

[편집]
  1. Larson, Ron; Edwards, Bruce (2013). 《Calculus: Early Transcendental Functions》 (영어) 6판. Boston, MA: Cengage Learning. ISBN 978-1-285-77477-0. LCCN 2013949101. 
  2. Lax, Peter D.; Terrell, Maria Shea (2014). 《Calculus With Applications》. Undergraduate Texts in Mathematics (영어) 2판. New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-1-4614-7946-8. ISBN 978-1-4614-7945-1. LCCN 2013946572. 
  3. Stewart, Seán M. (2018년 2월). 《How to Integrate It》 (영어). Cambridge University Press. doi:10.1017/9781108291507. ISBN 978-1-108-41881-2. 
  4. 伍胜健 (2009년 8월). 《数学分析. 第一册》 (중국어). 北京: 北京大学出版社. ISBN 978-7-301-15685-8. 
  5. 伍胜健 (2010년 2월). 《数学分析. 第二册》 (중국어). 北京: 北京大学出版社. ISBN 978-7-301-15876-0. 
  6. Kasube, Herbert E. (1983년 3월). “A Technique for Integration by Parts”. 《The American Mathematical Monthly》 (영어) 90 (3): 210-211. doi:10.2307/2975556. ISSN 0002-9890. JSTOR 2975556. 

외부 링크

[편집]