미적분학에서 곱 규칙(-規則, 영어: product rule) 또는 곱의 미분법 또는 라이프니츠 법칙(영어: Leibniz rule)은 함수의 곱의 미분을 구하는 공식이다.
만약 두 함수
가
에서 미분 가능하다면,
역시
에서 미분 가능하며, 그 미분은 다음과 같다.
![{\displaystyle (fg)'(x_{0})=f'(x_{0})g(x_{0})+f(x_{0})g'(x_{0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e923098b56988642a6e525a7da9be4d77929185)
이를 라이프니츠 표기법을 사용하여 쓰면 다음과 같다.
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}(fg)(x_{0})=g{\frac {df}{dx}}(x_{0})+f{\frac {dg}{dx}}(x_{0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21ad66bbe5858d573a165b42c8de49bd615ff790)
선형 근사를 사용하여 쓰면 다음과 같다.
![{\displaystyle d(fg)|_{x=x_{0}}=(gdf+fdg)|_{x=x_{0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d1095fed5ad2f7968ff2a8f19ffc09bd5d7d132)
만약 함수
가
에서 미분 가능하다면,
의
에서의 미분은 다음과 같다.
![{\displaystyle (f_{1}f_{2}\cdots f_{k})'(x_{0})=f_{1}'(x_{0})f_{2}(x_{0})\cdots f_{k}(x_{0})+f_{1}(x_{0})f_{2}'(x_{0})\cdots f_{k}(x_{0})+\cdots f_{1}(x_{0})f_{2}(x_{0})\cdots f_{k}'(x_{0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/460e64cbde709286774dff7edeadb3ee40fc3222)
보다 일반적으로, 만약
가
계 도함수를 갖는다면,
역시
계 도함수를 가지며, 이는 다음과 같다. (여기에 나오는 계수는 이항 계수이다.)
![{\displaystyle (fg)^{(n)}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n-k)}(x)g^{(k)}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4a3dc2b17fd7262b8a6b11286a4ed18a4ea2e08)
만약
가
계 도함수를 갖는다면,
의
계 도함수는 다음과 같다. (여기에 나오는 계수는 다항 계수이다.)
![{\displaystyle (f_{1}f_{2}\cdots f_{k})^{(n)}(x)=\sum _{n_{1},n_{2},\dotsc ,n_{k}\geq 0}^{n_{1}+n_{2}+\cdots +n_{k}=n}{\frac {n!}{n_{1}!n_{2}!\cdots n_{k}!}}f_{1}^{(n_{1})}(x)f_{2}^{(n_{2})}(x)\cdots f_{k}^{(n_{k})}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8862d1223f9ebd632ce4afaf31d4d9e6ffd8e45)
두 함수
가
에서 변수
에 대한 편미분이 존재한다고 하자. 그렇다면
역시 그러하며, 그
에 대한 편미분은 다음과 같다.
![{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}(fg)(\mathbf {x} _{0})=g(\mathbf {x} _{0}){\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(\mathbf {x} _{0})+f(\mathbf {x} _{0}){\frac {\partial g}{\partial x_{i}}}(\mathbf {x} _{0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80bed881dec4df2c4a546cebf4ab35afd8f953c8)
함수 f를
로 정의한다. 이때
를 도함수의 정의에 따라 구하면,
![{\displaystyle f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c6ac99da6a4843e05a2ab4ad0a32a9eed6194c0)
![{\displaystyle =\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {g(x+\Delta x)h(x+\Delta x)-g(x)h(x)}{\Delta x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f675d71aa4b143577f80cf488e5d47ee3fcba083)
![{\displaystyle =\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {g(x)h(x+\Delta x)-g(x)h(x)+g(x+\Delta x)h(x+\Delta x)-g(x)h(x+\Delta x)}{\Delta x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d590fceb552921e7a1894613a55fc5699651a7a)
![{\displaystyle =\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {g(x)(h(x+\Delta x)-h(x))+h(x+\Delta x)(g(x+\Delta x)-g(x))}{\Delta x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/394385e124dcd57632dfc07e76ab8c378f91c0a1)
![{\displaystyle =\lim _{\Delta x\to 0}\left(g(x){\frac {h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}}+h(x+\Delta x){\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c985eca97fad18a9faefdda29b33896842e6c48b)
여기에서
는
에 대해 연속이므로, 다음이 성립한다.
![{\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}h(x+\Delta x)=h(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c80a2720854af5bde31518e12201421387730ebb)
따라서 다음의 결과가 나온다.
![{\displaystyle f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}\left[g(x)\left({\frac {h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}}\right)+h(x+\Delta x)\left({\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd27690dc5dc6bd3b30fd6fd7f12ea34261f484e)
![{\displaystyle =\left[\lim _{\Delta x\to 0}g(x)\right]\left[\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}}\right]+\left[\lim _{\Delta x\to 0}h(x+\Delta x)\right]\left[\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a4ccbdf433f89ff24927ee2d33dcbc4cd1a9485)
![{\displaystyle =g(x)h'(x)+h(x)g'(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe403fbdfa9c14ccabe5480c67efaae7640237a5)