일차 함수 그래프의 예시
수학 에서 일차 함수 (一次函數, 영어 : linear function )는 최고 차항의 차수가 1인 다항 함수 이다. 즉, 그래프 가 직선 인 함수 이다. 정비례 함수 (正比例函數 영어 : directly proportional function )는 일차 함수에 상수항이 0이라는 조건을 추가한 특수한 경우이다. 즉, 그래프가 원점 을 지나는 직선인 함수이다. 단, 계수는 실수여야 한다.
일차 함수 는 정의역 과 공역 이 실수 의 집합 인, 다음과 같은 꼴의 함수이다.
f
(
x
)
=
a
x
+
b
{\displaystyle f(x)=ax+b}
여기서
a
{\displaystyle a}
와
b
{\displaystyle b}
는 임의의 실수이다. 정비례 함수 는 다음과 같은 꼴의 특수한 일차 함수이다.
f
(
x
)
=
a
x
{\displaystyle f(x)=ax}
여기서
a
{\displaystyle a}
는 임의의 실수이다. (정비례 함수는 x의 증가에 따라 y도 증가하는 그래프이다.)
일차 함수
f
(
x
)
=
a
x
+
b
{\displaystyle f(x)=ax+b}
의 데카르트 좌표계 에서의 그래프는 수직이 아닌 직선이다. 특히, 정비례 함수
f
(
x
)
=
a
x
{\displaystyle f(x)=ax}
의 그래프는 원점을 지나는 수직이 아닌 직선이다.
일차 함수
f
(
x
)
=
a
x
+
b
{\displaystyle f(x)=ax+b}
의 기울기 는
x
{\displaystyle x}
왼쪽에 붙은 상수
a
{\displaystyle a}
를 뜻하며, 이를 구하는 공식은 여러 가지가 있다. 먼저, 일차 함수의 그래프 위의 두 점
(
x
1
,
f
(
x
1
)
)
{\displaystyle (x_{1},f(x_{1}))}
및
(
x
2
,
f
(
x
2
)
)
{\displaystyle (x_{2},f(x_{2}))}
를 취했을 때, 기울기는 독립 변수의 값과 종속 변수의 값의 변화량의 비 와 같다. 또한, 그래프와 만날 때까지 양의
x
{\displaystyle x}
축을 반대 시계 방향으로 회전해야 하는 각도를
θ
{\displaystyle \theta }
라고 할 때,
a
{\displaystyle a}
는 이 각도의 탄젠트 와 같다. 사실,
a
{\displaystyle a}
는
f
{\displaystyle f}
의 미분 이기도 하다.
a
=
f
(
x
2
)
−
f
(
x
1
)
x
2
−
x
1
=
tan
θ
=
f
′
(
x
)
{\displaystyle a={\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}=\tan \theta =f'(x)}
일차 함수
f
(
x
)
=
a
x
+
b
{\displaystyle f(x)=ax+b}
에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치 이다. 즉, 이들 조건 중 어떤 하나가 성립한다면, 나머지 조건들 역시 성립하며, 어떤 하나가 성립하지 않는다면, 나머지 역시 성립하지 않는다.
a
≠
0
{\displaystyle a\neq 0}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
는 일차 다항식 이다.
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
의 그래프는 수평선이 아니다.
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
는 강한 단조 함수 이다.
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
는 전단사 함수 이다.
일차 함수
f
(
x
)
=
a
x
+
b
{\displaystyle f(x)=ax+b}
의 영점 은 일차 방정식
f
(
x
)
=
0
{\displaystyle f(x)=0}
의 해와 같다. 즉, 그래프가
x
{\displaystyle x}
축과 만나는 점의 좌표이다.
a
≠
0
{\displaystyle a\neq 0}
일 경우,
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
의 영점은
−
b
/
a
{\displaystyle -b/a}
가 유일하다. 즉,
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
의 그래프는
x
{\displaystyle x}
축과 유일한 교점
(
−
b
/
a
,
0
)
{\displaystyle (-b/a,0)}
을 갖는다.
a
=
0
≠
b
{\displaystyle a=0\neq b}
일 경우,
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
의 영점은 존재하지 않는다. 이 경우
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
의 그래프는 수평선이며,
x
{\displaystyle x}
축과 거리
b
{\displaystyle b}
만큼 떨어져 있다.
a
=
0
=
b
{\displaystyle a=0=b}
일 경우, 모든 실수가
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
의 영점이다. 즉,
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
의 그래프는
x
{\displaystyle x}
축과 겹쳐진다.
일차 함수
f
(
x
)
=
a
x
+
b
{\displaystyle f(x)=ax+b}
의 0에서의 함숫값은
f
(
0
)
=
b
{\displaystyle f(0)=b}
이다. 이는
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
의 그래프가
y
{\displaystyle y}
축과 만나는 점의 좌표와 같다.
일차 함수
f
(
x
)
=
a
x
+
b
{\displaystyle f(x)=ax+b}
는 항상 단조 함수 이다.
a
>
0
{\displaystyle a>0}
이면 강한 증가 함수 ,
a
<
0
{\displaystyle a<0}
이면 강한 감소 함수 ,
a
=
0
{\displaystyle a=0}
이면 상수 함수 이다.
함수
f
:
R
→
R
{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }
에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.
임의의
x
,
y
,
t
∈
R
{\displaystyle x,y,t\in \mathbb {R} }
에 대하여,
f
(
t
x
+
(
1
−
t
)
y
)
=
t
f
(
x
)
+
(
1
−
t
)
f
(
y
)
{\displaystyle f(tx+(1-t)y)=tf(x)+(1-t)f(y)}
임의의 도함수
g
:
R
→
R
{\displaystyle g\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }
에 대하여,
f
∘
g
{\displaystyle f\circ g}
역시 도함수이다.
f
{\displaystyle f}
는 일차 함수이다.
함수
f
:
R
→
R
{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
임의의
x
,
y
,
c
∈
R
{\displaystyle x,y,c\in \mathbb {R} }
에 대하여,
f
(
c
x
+
y
)
=
c
f
(
x
)
+
f
(
y
)
{\displaystyle f(cx+y)=cf(x)+f(y)}
f
{\displaystyle f}
는 정비례 함수이다.
이에 따라, 일차 함수는 실수 집합 위의 유일한 유형의 아핀 변환 이며, 정비례 함수는 실수 집합 위의 유일한 유형의 선형 변환 이다.