미분기하학에서 주접속(主接續, 영어: principal bundle connection)은 주다발 위에 정의되며, 그 군 작용과 호환되는 에레스만 접속이다.[1] 이를 통해, 주다발 위에 평행 이동과 곡률을 정의할 수 있다.
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
- 매끄러운 다양체
![{\displaystyle M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd)
- 리 군
. 그 실수 리 대수를
라 하자.
- 매끄러운 주다발
![{\displaystyle \pi \colon P\twoheadrightarrow M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c95fdfad8c777b5138ab22d869dd74f60a406ce9)
위의 주접속의 개념은 여러 가지로 정의할 수 있다.
- 주접속은 특정한 두 조건을 만족시키는, 리 대수
값의 1차 미분 형식
으로 정의할 수 있다.
- 주접속은 특정한 호환 조건을 만족시키는 에레스만 접속
으로 정의할 수 있다.
- 주접속은
위의 특정한 올다발의 특정한 매끄러운 단면으로 정의할 수 있다.
- 주접속은 주다발의 국소 자명화에 대하여 각 조각 위의
값의 1차 미분 형식들의 족으로 정의할 수 있다.
이 정의들은 모두 서로 동치이다.
의 주접속
는 다음과 같은 두 성질을 만족시키는,
위의
값을 가진 1차 미분 형식이다.
[1]:144, §Ⅳ.3, (ω.2)
[1]:144, §Ⅳ.3, (ω.1)
여기서
는 군의 오른쪽 작용을 나타내는 매끄러운 함수
이다.
는 1차 미분 형식
의,
에 대한 당김이다.
는
의 딸림표현이다.
는
의,
위의 오른쪽 작용을 생성하는 벡터장이다.
의 에레스만 접속
가 다음 조건을 만족시킨다면,
를 주접속이라고 한다.
![{\displaystyle H_{p\cdot g}=(\mathrm {T} (\cdot g))(H_{p})\qquad \forall p\in P,\;g\in G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9ed242dc59839d51c8d59d9f83762669dd852fc)
여기서
는
의
위의 오른쪽 작용이다.
는 위 매끄러운 함수의 미분이다.
미분 형식을 통한 정의에 따른 주접속
가 주어졌을 때, 이에 대응하는 에레스만 접속은 다음과 같다. 우선, 임의의
에 대하여,
의 오른쪽 작용을 생성하는 벡터장의 족을
![{\displaystyle X\colon {\mathfrak {lie}}(G)\to \Gamma (\mathrm {T} P)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c6a2c004abfd7304e253ca98660c96805f0378b)
![{\displaystyle X\colon x\mapsto X_{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a80dfe7f1aa53f4df78ec843d2e2310138aff9c0)
로 표기하자. 그렇다면, 위 작용이 정추이적 작용이므로,
의 상은
의 수직 벡터 다발
과 같으며, 이는 벡터 다발의 표준적인 동형 사상
![{\displaystyle P\times {\mathfrak {lie}}(G)\to \mathrm {V} P}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d1b168c9a6fa4c011c2120ace01894b8d3b4bbf)
를 정의한다. (좌변은 올이
인 자명한 벡터 다발이다.) 따라서,
를
의 단면으로 여길 수 있으며,
는 벡터 다발 사상
![{\displaystyle \omega \colon \mathrm {T} P\to \mathrm {V} P\subseteq \mathrm {T} P}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e6624cb983baae0f9ea7e1d57c6084d419c6810)
를 정의한다. 이는 멱등 함수이며 (
), 따라서 그 핵으로 완전히 명시된다. 그 핵
은 에레스만 접속이다.
딸림표현의 연관 벡터 다발[2]:545–546, §3
![{\displaystyle \operatorname {ad} (P)=P\times _{G}{\mathfrak {lie}}(G)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdd0422f7165a75f461cf1d8a9bc7a4f2db64ad3)
을 생각하자. 또한,
는 접다발
위에 오른쪽 군 작용을 가지며, 이에 따라 몫공간
를 정의할 수 있다. 그 차원은
이며, 또한
- 벡터장의 밂
는 매끄러운 올다발을 이룬다. (그러나 이는 일반적으로 벡터 다발이 아니다.)
은 매끄러운 벡터 다발을 이룬다.
올다발
을 주접속 다발(영어: bundle of principal connections)이라고 한다.[1]:141, §Ⅳ.1 즉, 다음과 같은 가환 그림이 존재한다.
![{\displaystyle {\begin{matrix}\mathrm {T} P&\to &\mathrm {T} P/G&\to &\mathrm {T} M\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\P&\to &P/G&=&M\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/649b6b994ff9b013f7b06b42365dc2b901cee1fe)
이는 다음과 같은 표준적인
위의 매끄러운 벡터 다발들의 짧은 완전열을 이룬다.[2]:547, (3.2)
![{\displaystyle 0\to \operatorname {ad} (P)\,{\xrightarrow {\iota }}\,{\frac {\mathrm {T} P}{G}}\,{\xrightarrow {\pi _{*}}}\,\mathrm {T} M\to 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cfb521be3514796c8be012cbc2756c486ae98d5)
는 이 열 위에 작용하며,
와
는
의 작용 아래 불변이다.
이 경우,
의 주접속은 위 짧은 완전열의 분할이다. 즉, 아벨 범주의 분할 보조정리에 따라, 다음과 같은 두 데이터가 서로 동치이며, 이는 주접속의 데이터와 같다.
의 왼쪽 역사상인
-매끄러운 벡터 다발 사상 ![{\displaystyle A\colon \mathrm {T} P/G\to \operatorname {ad} (P)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2cb7802ff5e3b5b555eee2fb0ca0d70e91e86c9)
의 오른쪽 역사상인
-매끄러운 벡터 다발 사상
[1]:142, §Ⅳ.1
짧은 완전열의 성질에 따라, 두 주접속의 차는 매끄러운 벡터 다발 사상
를 정의하며, 이는 벡터 값 미분 형식
![{\displaystyle \Omega ^{1}(M;\operatorname {ad} (P))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08cf06867535002f0bd02da1fb00c37317e669d9)
의 원소와 같다. 즉, 주접속의 모듈라이 공간은 이 실수 벡터 공간에 대한 아핀 공간이다.
를 자명화할 수 있게 충분히 섬세한 임의의
의 열린 덮개
를 골랐다고 하자. 그렇다면,
의 주접속은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
- 각
에 대하여, 리 대수 값 1차 미분 형식 ![{\displaystyle A_{i}\in \Omega ^{1}(U_{i};{\mathfrak {lie}}(G))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/715b75ad7253b0d35d482e4c85f4896e1043ebbb)
이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
- 임의의
에 대하여, 만약
이라면, 어떤 매끄러운 함수
에 대하여, 다음이 성립해야 한다.
![{\displaystyle A_{j}=\operatorname {Ad} (g_{ij})^{-1}A_{i}+g_{ij}^{-1}\mathrm {d} g_{ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc2caf9d6e39748e788b52602fd249b66177b185)
여기서
는 리 군에 대응되는 실수 리 대수이다.
는 리 군의, 스스로의 리 대수 위의 딸림표현이다.
같은 열린 덮개
위에 정의된 두 주접속
,
에 대하여, 만약 어떤 매끄러운 함수들의 족
![{\displaystyle (g_{i}\colon U_{i}\to G)_{i\in I}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cea4ca3d88f125a02693a6f824b41ae353a34d57)
에 대하여
![{\displaystyle A'_{i}=\operatorname {Ad} (g_{i})^{-1}A_{i}+g_{i}^{-1}\mathrm {d} g_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f55178630867c752133f2cc0b9725bee6f399eb)
라면,
와
을 같은 주접속으로 간주한다.
이러한 정의는 이론물리학에서 자주 쓰이며, 물리학에서 위와 같은 동치 관계를 게이지 변환이라고 한다.
이 정의는 다른 정의들과 동치이다. 구체적으로, 주접속을
위에 정의된 1차 미분 형식
으로 정의하였다고 하자. 이 경우, 열린 덮개
에 대한 국소 자명화는 각
에 대한 매끄러운 단면
으로 주어진다. 이 경우,
![{\displaystyle A_{i}=s_{i}^{*}A\in \Omega ^{1}(U_{i};{\mathfrak {lie}}(G))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f1dcc68c8a5f6258e1118239b84c6ce0d33c9b7)
로 놓으면 국소 자명화를 통한 정의를 얻는다. 이 과정에서, 만약 사용한 자명화를
![{\displaystyle s'_{i}=s_{i}g_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebf99fe537ff971e4ae56169b8efb59fe795f266)
와 같이 바꾸면
![{\displaystyle A'_{i}=(s'_{i})^{*}A=\operatorname {Ad} (g_{i})^{-1}A_{i}+g_{i}^{-1}\mathrm {d} g_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b24e7ef94de514cc8fccb3fe54bc49f9bae71ac)
가 되어, 같은 주접속을 얻는다.
주접속
의 곡률(曲率, 영어: curvature)
는 다음과 같다.
![{\displaystyle \Omega =d\omega +{\frac {1}{2}}[\omega \wedge \omega ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fee291eb3ee4dd26fdcec128da239db8c213636)
여기서
는 리 괄호와 외적을 결합한 연산으로,
와 같이 정의한다.
곡률은 벡터 값 미분 형식
![{\displaystyle F\in \Omega ^{2}(M;\operatorname {ad} (P))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7701e16f65ba46ebf058eae38e2809f5cf37810b)
를 정의하며,[2]:548, §3 이 데이터는 곡률의 개념과 동치이다.
곡률이 0인 주접속을 평탄 주접속이라고 한다.
다음과 같은 연관 다발
를 생각하자.[2]:539, §2
![{\displaystyle \operatorname {Ad} (P)=P\times _{G}G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e6bc5852861d240bc0b91983939686daf6f68d6)
이는
의, 스스로 위의 켤레 작용
![{\displaystyle g\mapsto (h\mapsto ghg^{-1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a661f55f1300a38dc17ec3380dd765a850eceb21)
에 대한,
의 연관 다발이다.
의 매끄러운 단면들의 공간은 마찬가지로 다음과 같은 매끄러운 함수의 공간으로 여겨질 수 있다.[2]:539, §2
![{\displaystyle \Gamma ^{\infty }(M,\operatorname {Ad} (P))\cong \{\phi \in {\mathcal {C}}^{\infty }(P,G)\colon \phi (p\cdot g)=g^{-1}\phi (p)g\}\cong \operatorname {Aut} (P)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/418a8f62ddbb683c450837a1d1e0ffc26f5fbc71)
는 점별 곱셈을 통해 위상군을 이루며, 그 원소를 게이지 변환이라고 한다.
또한, 다음과 같은, 딸림표현에 대한 연관 벡터 다발을 생각하자.[2]:545–546, §3
![{\displaystyle \operatorname {ad} (P)=P\times _{G}{\mathfrak {lie}}(G)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdd0422f7165a75f461cf1d8a9bc7a4f2db64ad3)
그 매끄러운 단면의 벡터 공간은 게이지 변환군
에 대응하는 리 대수이다.
![{\displaystyle \operatorname {Lie} ({\mathcal {G}})=\Gamma ^{\infty }(M,\operatorname {ad} (P))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b36948ce4e689c54d246e44abb3db4d5c60de7d5)
그렇다면,
-주다발
위의 주접속의 모듈라이 공간
는 다음과 같은 벡터 공간에 대한 아핀 공간이다.[2]:547, §3
![{\displaystyle \mathrm {T} _{A}{\mathcal {A}}\cong \Omega ^{1}(M;\operatorname {ad} (P))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e40f69ee5ab3e741625ed915117827bd877256e)
게이지 변환군
는
위에 다음과 같이 자연스럽게 작용한다.
![{\displaystyle \phi \cdot A=\phi ^{*}A\qquad (A\in \Omega ^{1}(M;\operatorname {ad} (P)),\;\phi \in \operatorname {Aut} (P)\cong {\mathcal {G}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6605492d72fe5002974b00605fca6795cb5595d7)
만약
가 자명한 주다발일 경우,
는 자명한 벡터 다발이며, 또한 표준적인 자명한 주접속
이 존재한다. 따라서, 이 경우 주접속의 모듈러스 공간은 리 대수 값 미분 형식의 실수 벡터 공간
를 이루며, 주접속을 단순히 리 대수 값 미분 형식으로 간주할 수 있다.
만약
이 한원소 공간이라고 하자. 이 경우,
- 주다발
은
-토서(영어: torsor, 군에서 원점을 망각한 구조)이다.
- 표준적으로
이다.
는
위의,
-오른쪽 군 작용에 대하여 불변인 벡터장들의 실수 벡터 공간이며, 이 역시
와 표준적으로 대응한다. (리 대수의 원소는 이에 대한 군 작용으로서 불변 벡터장을 정의하며, 이는 전단사 함수를 이룬다.)
따라서, 이 경우 주접속이 유일하게 존재하며, 주접속 자체가 게이지 불변이다.
위의 1차 미분 형식으로서, 이는 마우러-카르탕 형식이다.