Przejdź do zawartości

Sprzężenie zespolone

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Geometryczna reprezentacja i jego sprzężenia na płaszczyźnie zespolonej

Sprzężenie zespolonejednoargumentowe działanie algebraiczne określone na liczbach zespolonych polegające na zmianie znaku części urojonej danej liczby zespolonej.

Przykładowo

Definicja

[edytuj | edytuj kod]

Sprzężeniem liczby zespolonej w postaci algebraicznej gdzie jest liczba nazywana liczbą sprzężoną do [1] i oznaczana zwykle symbolem W fizyce oraz naukach technicznych stosuje się również zapis

W postaci biegunowej sprzężenie liczby dane jest przez Można to łatwo sprawdzić za pomocą wzoru Eulera.

Nazwę sprzężenia zespolonego prawdopodobnie wprowadził Augustin Louis Cauchy – używał jej (fr. conjuguées) w swoim Kursie analizy z 1821 roku[2].

Liczby zespolone przedstawiane są często jako punkty płaszczyzny w układzie współrzędnych kartezjańskich (por. diagram). Oś -ów zawiera liczby rzeczywiste, zaś oś -ów zawiera liczby urojone. Przy takiej interpretacji sprzężenie zespolone odpowiada symetrii względem osi

Pary liczb sprzężonych są warte uwagi, ponieważ jednostka urojona jest jakościowo różna od swojej odwrotności addytywnej i multiplikatywnej jako że obie z nich spełniają definicję jednostki urojonej: dla Dlatego w najbardziej „naturalnych” okolicznościach, jeżeli liczba zespolona daje rozwiązanie problemu, to daje je również jej sprzężenie, jak to jest w przypadku rozwiązań zespolonych równania kwadratowego o współczynnikach rzeczywistych.

Sprzężenie zespolone jest jedynym oprócz identyczności ciągłym automorfizmem ciała liczb zespolonych, a przy tym działanie to jest inwolucją, czyli Zachowuje ono moduł oraz zmienia argument liczby zespolonej na przeciwny.

Własności

[edytuj | edytuj kod]

Niech będą liczbami zespolonymi, a będzie liczbą rzeczywistą. Wówczas

  • liczbą sprzężoną do liczby rzeczywistej jest ta sama liczba:
  • liczbą sprzężoną do sumy liczb jest suma liczb sprzężonych:
  • liczbą sprzężoną do iloczynu liczb jest iloczyn liczb sprzężonych:
  • moduł liczby sprzężonej jest taki sam, jak moduł danej liczby:
  • jeden z argumentów liczby sprzężonej jest taki sam, jak argument danej liczby, ale z przeciwnym znakiem:
  • suma danej liczby zespolonej oraz liczby do niej sprzężonej jest liczbą rzeczywistą i wynosi:
  • iloczyn danej liczby i liczby do niej sprzężonej jest nieujemną liczbą rzeczywistą i wynosi:
    stąd też
  • jeżeli czyli jest liczbą urojoną, to liczba sprzężona jest liczbą przeciwną do danej:
  • jeśli jest pierwiastkiem danego wielomianu rzeczywistego, to też nim jest.

Macierz sprzężona

[edytuj | edytuj kod]
 Osobny artykuł: macierz sprzężona.

Macierz sprzężona (trywialnie) do danej to macierz, której każdy element jest liczbą sprzężoną do odpowiadającego mu elementu macierzy zespolonej:

Znacznie jednak ważniejszą operacją jest sprzężenie hermitowskie macierzy, tzn. sprzężenie złożone z transpozycją.

Przykład

[edytuj | edytuj kod]

Uogólnienia

[edytuj | edytuj kod]

Sprzężenie można uogólnić na kwaterniony: sprzężeniem kwaternionu jest kwaternion Można także uogólnić je na przypadek dowolnego innego ciała kwadratowego, np. w ciele można określić je wzorem a także na liczby dualne. Sprzęgać można również dwumiany. Sprzężenie we wszystkich podanych przypadkach ma dwie ważne własności: jest automorfizmem oraz inwolucją.

Zobacz też

[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

[edytuj | edytuj kod]