Овал Кассіні
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/eb/Line_of_Cassini.svg/350px-Line_of_Cassini.svg.png)
Овал Кассіні | |
Названо на честь | Джованні Доменіко Кассіні |
---|---|
Підтримується Вікіпроєктом | Вікіпедія:Проєкт:Математика |
![]() |
Ова́л Кассі́ні — геометричне місце точок, добуток відстаней від яких до двох заданих точок (фокусів) сталий і дорівнює квадрату деякого числа .
Окремим випадком овалу Кассіні при фокусній відстані рівній є Лемніската Бернуллі. Сам овал є лемніскатою з двома фокусами.
Крива була запропонована французьким астрономом італійського походження Джованні Кассіні. Він помилково вважав, що вона точніше описує орбіту Землі, ніж еліпс[1]. Хоча цю лінію називають овалом Кассіні, вона не завжди овальна.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/3c/Animated_Line_of_Cassini.gif)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/92/Animated_Line_of_Cassini_2.gif)
Позначимо відстань між фокусами .
- .
- У явному вигляді рівняння в прямокутних координатах:
- .
- В полярній системі координат:
- .
У рівнянні кривої містяться два незалежних параметри: — половина відстані між фокусами і — добуток відстаней від фокусів до будь-якої точки кривої. З точки зору форми найсуттєвішим є відношення параметрів, а не їх величини, які при сталому відношенні визначають лише розмір фігури. Можна виділити шість різновидів форми залежно від величини відношення :
- , тобто при .
- Крива вироджується до двох точок, що збігаються з фокусами. При форма кривої прямує до двох точок.
- , тобто
- Крива розпадається на два окремих овали, кожний з яких витягнений у напрямі іншого і за формою нагадує яйце.
- , тобто
- Права частина рівняння в прямокутних координатах (див. вище) перетворюється в нуль, і крива стає лемніскатою Бернуллі.
- , тобто
- У кривої з'являються чотири симетричні точки перегину (по одній у кожній координатній чверті). Кривина в точках перетину з віссю прямує до нуля, коли прямує до і до нескінченності, коли прямує до .
- , тобто
- , тобто при
- Із збільшенням (коли відношення прямує до нуля) крива прямує до кола радіусом . Якщо , то відношення досягає нуля, і в цьому випадку крива вироджується у коло.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/07/Cassini_oval.svg/375px-Cassini_oval.svg.png)
- Овал Кассіні — алгебрична крива четвертого порядку.
- Вона є симетричною відносно середини відрізка між фокусами.
- При має два абсолютних максимуми і два мінімуми:
- Геометричне місце точок абсолютних максимумів і мінімумів — коло радіусом з центром посередині відрізка між фокусами.
- При крива має чотири точки перегину. Їх полярні координати:
- Геометричне місце точок перегину — лемніската з вершинами .
- Радіус кривини для випаду подання у полярних координатах:
Овал Кассіні є частковим випадком кривої Персея.
Зокрема, рівняння кривої Персея у декартовій системі координат
- .
при перетворюється у рівняння овала Кассіні
- ↑ Космические овалы Кассини [Архівовано 5 грудня 2008 у Wayback Machine.] Е. Скляревский
- Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)
- MacTutor description [Архівовано 17 серпня 2011 у Wayback Machine.] (англ.)
- Weisstein, Eric W. Cassini Ovals(англ.) на сайті Wolfram MathWorld. (англ.)
- 2Dcurves.com description [Архівовано 22 серпня 2011 у WebCite] (англ.)
- "Ovale de Cassini" at Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables [Архівовано 13 листопада 2011 у Wayback Machine.] (фр.)