Просте число Волстенголма

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

У теорії чисел простим числом Волстенголма називають будь-яке просте число, що задовольняє посиленому порівнянню з теореми Волстенголма. При цьому початковому порівнянню з теореми Волстенголма задовольняють усі прості числа, крім 2 та 3. Прості числа Волстенголма названо на честь математика Джозефа Волстенголма[en], який першим довів теорему в XIX столітті.

Інтерес до цих чисел виник через їхній зв'язок із великою теоремою Ферма.

Відомо лише два простих числа Волстенголма — 16843 і 2124679 (послідовність A088164 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS). Інших простих чисел Волстенголма, менших від 109, немає[1] .

Визначення

[ред. | ред. код]
Нерозв'язана проблема математики:
Чи існують прості числа Волстенголма, крім 16843 та 2124679?
(більше нерозв'язаних проблем математики)

Просте число Волстенголма можна визначити кількома еквівалентними способами.

Через біноміальні коефіцієнти

[ред. | ред. код]

Просте число Волстенголма — це просте число, що задовольняє порівняння

де вираз у лівій частині означає біноміальний коефіцієнт[2]. Порівняйте з теоремою Волстенголма, яка стверджує, що для будь-якого простого виконується таке порівняння:

Через числа Бернуллі

[ред. | ред. код]

Просте число Волстенголма це просте число p, що ділить (без остачі) чисельник числа Бернуллі [3][4][5]. Таким чином, прості числа Волстенголма є підмножиною іррегулярних простих чисел .

Через іррегулярні пари

[ред. | ред. код]

Просте число Волстенголма  — це просте число, таке, що є іррегулярною парою[6][7].

Через гармонічні числа

[ред. | ред. код]

Просте число Волстенголма  — це просте число, таке, що[8]

тобто, чисельник гармонічного числа ділиться на .

Пошук та поточний стан

[ред. | ред. код]

Пошук простих чисел Волстенголма розпочався в 1960-х роках і триває досі. Останній результат опубліковано 2007 року. Перше просте число Волстенголма 16843 знайдено 1964 року, хоча результат і не було опубліковано в явному вигляді[9]. Знахідку 1964 року потім незалежно підтверджено в 1970-х роках. Це число залишалося єдиним відомим прикладом таких чисел майже 20 років, поки 1993 року не було оголошено про виявлення другого простого числа Волстенголма 2124679[10]. На той час аж до 1,2 × 107 не було знайдено жодного числа Волстенголма, крім згаданих двох[11]. 1995 року Макінтош (McIntosh) підняв межу до 2 × 108[4], а Тревісан (Trevisan) та Вебер (Weber) змогли досягти 2,5 × 108[12]. Останній результат зафіксовано 2007 року — до 1 × 109 так і не знайдено простих чисел Волстенголма[13].

Очікувана кількість

[ред. | ред. код]

Існує гіпотеза, що простих чисел Волстенголма нескінченно багато. Припускають також, що кількість простих чисел Волстенголма, які не перевищують , має бути порядку , де позначає натуральний логарифм. Для будь-якого простого числа часткою Волстенголма називають

Ясно, що є простим числом Волстенголма тоді й лише тоді, коли . З емпіричних спостережень можна припустити, що остача за модулем рівномірно розподілена на множині . З цих причин ймовірність отримання певної остачі (наприклад, 0) має бути близько [4].

Див. також

[ред. | ред. код]

Примітки

[ред. | ред. код]
  1. Weisstein, Eric W. Просте число Волстенголма(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
  2. Cook, J. D. Binomial coefficients. Архів оригіналу за 29 січня 2013. Процитовано 21 грудня 2010.
  3. Clarke та Jones, 2004
  4. а б в McIntosh, 1995, с. 387.
  5. Zhao, 2008
  6. Johnson, 1975, с. 114.
  7. Buhler та ін., (1993).
  8. Zhao, 2007, с. 18.
  9. Селфрідж (Selfridge) і Поллак (Pollack) опублікували перше просте число Волстенголма в Selfridge та Pollack, 1964 (див. McIntosh та Roettger, 2007).
  10. Ribenboim, 2004, с. 23.
  11. Zhao, 2007, с. 25.
  12. Trevisan та Weber, (2001).
  13. McIntosh та Roettger, (2007).

Література

[ред. | ред. код]

Посилання

[ред. | ред. код]