Nombre de Knudsen

Le nombre de Knudsen, généralement noté $(\mathrm {Kn} )$, est un nombre adimensionnel permettant de déterminer le régime d'écoulement (en termes de continuité du milieu et non en termes de turbulence) d'un fluide. Ce nombre porte le nom de Martin Knudsen, physicien et océanographe danois.

Il s'exprime par$$\mathrm {Kn} ={\frac {\ell ^{*}}{L^{*}}}$$où :

• $\ell ^{*}$ est le libre parcours moyen ;
• $L^{*}$ est une longueur caractéristique du problème vue sous l'angle de la mécanique des fluides.

Cette dernière longueur peut être définie par $L^{*}={\frac {X}{||\nabla X||}}$, $X$ étant n'importe quelle grandeur : température, pression, etc. On peut souvent en donner une estimation a priori : c'est une grandeur caractéristique du domaine d'étude comme la taille du domaine ouvert à l'écoulement dans un problème de milieu poreux ou de microfluidique ou le rayon de courbure de paroi en aérodynamique.

Domaine définissant un écoulement continu

Les équations de Navier-Stokes décrivent un milieu fluide proche de l'équilibre thermodynamique local. Or l'analyse adimensionnelle de l'équation de Boltzmann fait apparaître l'inverse du nombre de Knudsen comme pondération du terme décrivant les collisions et tendant à ramener le système vers l'équilibre thermodynamique. La validité de l'approche continue sera donc d'autant mieux vérifiée que le nombre de Knudsen est faible.

On considère que le milieu est :

• totalement continu si $\mathrm {Kn} <0,\!01$ ;
• partiellement raréfié si $0,\!01<\mathrm {Kn} <0,\!1$. Dans ce cas l'écoulement peut être considéré continu sauf dans des régions spécifiques : un choc, la région qui jouxte une paroi, de quelques libres parcours moyen d'épaisseur, baptisée couche de Knudsen. Celle-ci peut être traitée comme une condition aux limites particulière du problème continu décrit par les équations de Navier-Stokes.

Relation avec d'autres nombres adimensionnels

Si on définit les quantités de référence suivantes :

• la température $T^{*}$ ;
• la longueur de référence macroscopique $L^{*}$ liée au problème ;
• la masse volumique de référence $\rho ^{*}$ ;
• le libre parcours moyen $\ell ^{*}={\frac {1}{{\sqrt {2}}\sigma n}}$ où $\sigma$ est la section efficace différentielle et $n$ la densité de particules ;
• la vitesse moyenne microscopique $c^{*}={\sqrt {\frac {8kT^{*}}{m\pi }}}$ où $m$ est la masse d'une particule et $k$ la constante de Boltzmann ;
• une vitesse de référence $V^{*}$ ;

alors on peut définir

- la vitesse du son pour un gaz parfait	$a^{*}={\sqrt {\gamma RT^{*}}}$
- la viscosité de référence	$\mu ^{*}={\frac {\rho ^{*}c^{*}\ell ^{*}}{2}}$
- le nombre de Mach	$\mathrm {Ma} ={\frac {V^{*}}{a^{*}}}$
- le nombre de Reynolds	$\mathrm {Re} ={\frac {\rho ^{*}V^{*}L^{*}}{\mu ^{*}}}$
- le nombre de Knudsen	$\mathrm {Kn} ={\frac {\ell ^{*}}{L^{*}}}$

On en déduit la relation de von Kármán

$\mathrm {Kn} ={\frac {\mathrm {Ma} }{\mathrm {Re} }}{\sqrt {\frac {\gamma \pi }{2}}}$

Articles connexes

• Méthode de Chapman-Enskog