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Nombre de Nusselt

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Le nombre de Nusselt est un nombre adimensionnel utilisé pour caractériser le type de transfert thermique entre un fluide et une paroi. Il met en rapport le transfert par convection par rapport au transfert par conduction. Il est d'autant plus élevé que la convection prédomine sur la conduction[1].

Déterminer le nombre de Nusselt permet de calculer le coefficient de convection thermique à l'aide d'une corrélation, généralement obtenue expérimentalement, qui le lie

Définitions

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Nombre de Nusselt local

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Le nombre de Nusselt local est défini de la manière suivante :

,

avec :

  •  : coefficient de transfert thermique ou coefficient de convection (W·m-2·K-1) en un point particulier de la surface ;
  •  : longueur caractéristique (m) ; elle est la même que celle utilisée pour le nombre de Reynolds ;
  •  : conductivité thermique du fluide (W·m-1·K-1).

La longueur caractéristique dépend de la géométrie de la surface d'échange. Par exemple :

  • dans le cas d'une plaque plane, on prendra l'abscisse à compter du bord d'attaque de la plaque,
  • dans le cas d'un écoulement dans une conduite, on prendra le diamètre intérieur de la canalisation, ou le diamètre hydraulique si la conduite n'a pas une section circulaire.

Le nombre de Nusselt local peut également s'écrire sous la forme d'un gradient de température adimensionné à la paroi.

En posant et , on obtient à partir de l'équation de définition du coefficient de transfert :

,

avec la température du fluide en une position donnée, la température de surface de la paroi et la température du fluide à grande distance de la paroi.

Nombre de Nusselt global

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Le nombre de Nusselt global permet de calculer le coefficient de convection moyen sur la totalité de la surface. Il s'exprime :

,

de sorte que le flux thermique soit .

Corrélations

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En convection forcée

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L'application du théorème de Buckingham[2] à un problème de convection forcée, pour un écoulement établi en vitesse et en température avec un fluide dont les propriétés thermomécaniques sont constantes, fait apparaître trois groupements ou nombres sans dimension en relation sous la forme suivante :

,

avec :

  • le nombre de Reynolds,
  • le nombre de Prandtl qui ne dépend que des propriétés du fluide,

  • est un ordre de grandeur de la vitesse du fluide (m s−1),
  • est la masse volumique du fluide (kg m−3),
  • est la viscosité dynamique du fluide (kg m−1 s−1 ou Pa s),
  • est la viscosité cinématique (m2 s−1),
  • est la capacité thermique massique à pression constante (en J kg−1 K−1),
  • est la diffusivité thermique (m2 s−1).

Cette somme représente une fonction , nommée corrélation car elle ne peut être, le plus souvent, précisée que par l'expérience. Dans ce cas, la forme prise par la corrélation peut être différente de l'expression simple proposée plus haut. De façon générale toutefois, la littérature scientifique fournit des fonctions selon les différentes conditions étudiées :

et/ou .

L'objectif est, en général, de déterminer le nombre de Nusselt afin d'en déduire le coefficient de transfert thermique local ou global par convection.

Les corrélations sont très nombreuses et il est difficile d'en dresser une liste exhaustive ; en voici néanmoins quelques exemples.

Géométrie Corrélation Conditions
Écoulement parallèle à une surface plane isotherme

est l'abscisse en prenant le bord d'attaque comme origine

[3] (local)

[3]

(moyen entre 0 et )

Écoulement laminaire et
[4] Écoulement turbulent et
Écoulement perpendiculaire à un cylindre isotherme Hilpert[5] :
et
et
et
et
et
Écoulement dans un tube de paroi isotherme [6],[7] Région thermique pleinement développée :

[8].

Écoulement dans un tube à densité de flux thermique pariétal constant [6],[7]

En convection naturelle

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Pour l'étude de la convection naturelle, le nombre de Reynolds n'a pas de sens puisque le fluide est au repos à distance de la paroi. Le nombre de Grashof est utilisé à sa place :

,

où :

  • est l'accélération de la pesanteur (m s−2) ;
  • est le coefficient de dilatation (K−1) ;
  • est la différence de température entre la paroi et le fluide au repos à distance de la paroi (K).

Le nombre de Rayleigh lui est associé par : .

Dans les cas les plus simples la corrélation prend la forme . mais de façon plus générale on pourra rencontrer des fonctions plus sophistiquées :

et/ou .

Quelques exemples sont proposés dans le tableau qui suit. Un recueil plus important est fourni en boite déroulante plus loin.

Géométrie Corrélation Conditions
Surface plane verticale isotherme

est l'abscisse en prenant le bord d'attaque comme origine

(en bas pour une paroi chaude, en haut pour une paroi froide)

et [9],[10] Écoulement laminaire

et [9],[10] Écoulement turbulent

Résultats obtenus analytiquement[11],[12]
Écoulement laminaire

Cylindre horizontal Morgan[13],[14] :
et
et
et
et
et

Références

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  1. Yves Jannot, Transferts thermiques : cours et 55 exercices corrigés, Édilivre, (ISBN 978-2-332-83699-1), p. 81
  2. Jean-Luc Battaglia et al. 2010, p. 104
  3. a et b Theodore L. Bergman et al. 2011, p. 437-442
  4. Theodore L. Bergman et al. 2011, p. 443
  5. Theodore L. Bergman et al. 2011, p. 458
  6. a et b John H. Lienhard 2003, p. 349-351
  7. a et b Theodore L. Bergman et al. 2011, p. 538-539
  8. Theodore L. Bergman et al. 2011, p. 524
  9. a b c d e f et g Theodore L. Bergman et al. 2011, p. 605
  10. a b c d e f et g Jean-Luc Battaglia et al. 2010, p. 118
  11. a et b M. Necati Ozisik 1985, p. 427
  12. a et b John H. Lienhard 2003, p. 414
  13. a et b M. Necati Ozisik 1985, p. 445
  14. a b et c Theodore L. Bergman et al. 2011, p. 613
  15. a et b John H. Lienhard 2003, p. 408
  16. a b c d et e M. Necati Ozisik 1985, p. 431-436
  17. a b c d et e Jean Taine et Franck Enguehard 2014, p. 429-430
  18. a b c d et e John H. Lienhard 2003, p. 422-423
  19. a b et c M. Necati Ozisik 1985, p. 440
  20. a b c d e f et g Jean Taine et Franck Enguehard 2014, p. 431
  21. a b c d e f g h et i M. Necati Ozisik 1985, p. 436-439
  22. a b c d et e Theodore L. Bergman et al. 2011, p. 610
  23. a b c et d John H. Lienhard 2003, p. 422
  24. a et b John H. Lienhard 2003, p. 416
  25. a b et c M. Necati Ozisik 1985, p. 443
  26. a b et c Jean Taine et Franck Enguehard 2014, p. 432
  27. a b et c John H. Lienhard 2003, p. 419
  28. M. Necati Ozisik 1985, p. 447
  29. Theodore L. Bergman et al. 2011, p. 617

Bibliographie

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  • (en) Theodore L. Bergman, Adrienne S. Lavine, Franck P. Incropera et David P. Dewitt, Fundamentals of heat and Mass transfer, John Wiley & Sons, , 7e éd. (ISBN 978-0470-50197-9)
  • (en) M. Necati Ozisik, Heat Transfer: A Basic Approach, McGraw-Hill Education, (ISBN 9780070664609)
  • (en) John H. Lienhard,, A heat transfer textbook, Phlogiston Press, , 3e éd. (ISBN 978-0-9713835-2-4, lire en ligne)
  • Jean Taine et Franck Enguehard, Transferts thermiques : introduction aux transferts d'énergie : cours et exercices d'application, , 5e éd. (ISBN 978-2-10-071458-2)
  • Bernard Eyglunent, Manuel de thermique - Théorie et pratique, Hermès - Lavoisier, , 374 p.
  • Jean-Luc Battaglia, Andrzej Kusiak et Jean-Rodolphe Puiggali, Introduction aux transferts thermiques : Cours et exercices corrigés, Paris, Dunod, (ISBN 978-2-10-054828-6)

Articles connexes

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