Возвратное состояние
Возвра́тное состоя́ние — это состояние марковской цепи, посещаемое ею бесконечное число раз.
Определение
[править | править код]Пусть дана однородная цепь Маркова с дискретным временем . Пусть
— вероятность, выйдя из состояния , вернуться в него ровно за шагов. Тогда
— вероятность, выйдя из состояния , вернуться в него (за конечное или бесконечное время).
Состояние называется возвра́тным (рекурре́нтным), если . В противном случае состояние называется невозвра́тным (транзие́нтным).
Критерий возвратности
[править | править код]Состояние является возвратным тогда и только тогда, когда выполнено любое из следующих условий:
- , где .
- .
Соответственно, состояние невозвратно тогда и только тогда, когда выполнено любое из условий:
- [1].
- .
Время возвращения
[править | править код]Предположим, что почти всюду, и определим случайную величину , равную времени первого возвращения в состояние , то есть
- .
Тогда имеет дискретное распределение, задаваемое функцией вероятности
- .
Возвратное состояние называется положи́тельным, если
- ,
и нулевы́м, если
- .
Возвратность неразложимого класса
[править | править код]- Если состояния и сообщаются, и — возвратно, то состояние также возвратно.
- Более того если состояние положительно, то и состояние также положительно.
Таким образом возвратность и положительность — свойство неразложимого класса. Если Марковская цепь неразложима, то говорят о её возвратности и положительности.
Примечания
[править | править код]- ↑ Ширяев А. Н. Вероятность. — М:.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. — 640 с. — ISBN 5-02-013995-6.
Для улучшения этой статьи по математике желательно:
|