Трикутник Серпінського: відмінності між версіями

	Трикутник Серпінського
Названо на честь	Вацлав Серпінський
Дата відкриття (винаходу)	1915
Підтримується Вікіпроєктом	Вікіпедія:Проєкт:Математика
	Трикутник Серпінського у Вікісховищі

Інтерактивний перегляд історії

(Переглянути усі неперевірені зміни)

[перевірена версія]

[очікує на перевірку]

← Попереднє редагування

Вилучено вміст Додано вміст

ВізуальнийВікірозмітка

Лінійно

Поточна версія на 05:03, 14 червня 2024

Трикутник Серпінського — фрактал, один із двовимірних аналогів множини Кантора. Його математичний опис був запропонований польським математиком Вацлавом Серпінським в 1915 році^[1]. Цей трикутник є одним з найбільш ранніх прикладів фракталів, відомих з середньовіччя.

Даний фрактал відносять до фракталів, які отримують поетапним вилученням частин генератора, тобто до геометричних. Також відомий як «серветка» або «решітка» Серпінського.

Існує кілька способів побудови цього фракталу.

Побудова

Побудова трикутника Серпінського

Існує дуже багато способів побудови трикутника Серпінського, їх можна поділити на такі типи:

Геометричні методи;
Метод ігор;
Трикутник Серпінського як результат перетворення трикутника Паскаля;
Аналітичне задання фракталів з допомогою комплексних чисел;
Задання фракталів за допомогою систем ітерованих функцій;
Побудова через кола, круги та ін.;

Найпростішим способом побудови є такий: Береться рівносторонній трикутник. На першому кроці видаляється трикутник з вершинами в середині сторін початкового трикутника. На другому кроці аналогічні трикутники із трьох менших трикутників, які залишилися після першого кроку, і т. д.^[2] Після нескінченного повторення цієї процедури, від суцільного трикутника залишається підмножина — трикутник Серпінського.

Властивості

Трикутник Серпінського замкнутий.
Трикутник Серпінського має топологічну розмірність 1.
«Площа» трикутного килима Серпінського дорівнює нулю.
Важливою властивістю трикутника Серпінського є його самоподібність, адже він складається з трьох своїх копій, зменшених вдвічі.
Має розмірність Хаусдорфа $=\ln 3/\ln 2\approx 1,585$ $=\ln 3/\ln 2\approx 1,585$ . Зокрема,
- має нульову міру Лебега.

Цікаві факти

Римська мозаїка 3 — 4 століття в античному музеї міста Арль, Франція

Якщо в трикутнику Паскаля всі непарні числа пофарбувати в чорний колір, а парні — в білий, то утворюється трикутник Серпінського.
Утворення, схожі на трикутник Серпінського, виникає в грі Життя з довгої вертикальної лінії.
Трикутник Серпінського — це множина тих точок вихідного трикутника що не належать жодному з центральних трикутників довільного рангу, тобто нескінченність, що складається з тих точок, що не відкидаються ні на якому з цих етапів.
Зображення трикутника Серпінського у 1919 р. стали мотивом кількох графічних творів відомого українського графіка Георгія Нарбута
Варіації на тему трикутника Серпінського використані в оздобленні інтер'єру синагоги Бен-Езра, Каїр, Єгипет
На основі трикутника Серпінського можуть бути виготовлені багатодіапазонні фрактальні антени.^[2]^[3]
Чотири перші ітерації фрактальних трикутників Серпінського присутні в орнаментах геометричної мозаїки стиля косматеско в середньовічних соборах Італії (з XII століття)^[4]^[5]^[6], арабських та перських інтер'єрах^[4].

Див. також

Примітки

↑ W. Sierpinski, Sur une courbe dont tout point est un point de ramification.//Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. — Paris. — Tome 160, Janvier — Juin 1915. — Pp. 302—305. — [1]
↑ ^а ^б Слюсар В. И. Фрактальные антенны. // Радиоаматор. — 2002. — № 9. — С. 54 -56., Конструктор. — 2002. — № 8. — С. 6 — 8. [2]
↑ Вишневский В. М., Ляхов А. И., Портной С. Л., Шахнович И. В. Широкополосные беспроводные сети передачи информации. — М.: Техносфера. — 2005.- C. 498—569. [3]
↑ ^а ^б The grammar of ornament. Day and Son, London. — 1856. [4]
↑ Conversano Elisa, Tedeschini Lalli Laura. Sierpinsky triangles in stone, on medieval floors in Rome.// Aplimat — Journal of Applied Mathematics. Volume 4 (2011), Number 4. — P. 113—122. — [5]
↑ Paola Brunori, Paola Magrone, and Laura Tedeschini Lalli. Imperial Porphiry and Golden Leaf: Sierpinski Triangle in a Medieval Roman Cloister.//ICGG 2018 — Proceedings of the 18th International Conference on Geometry and Graphics. — Pp. 595—609. -[6]

Література

Jones, O. The grammar of ornament. Day and Son, London. — 1856.
Абачиев С. К. О треугольнике Паскаля, простых делителях и фрактальных структурах // В мире науки, 1989, № 9.

[1] W. Sierpinski, Sur une courbe dont tout point est un point de ramification.//Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. — Paris. — Tome 160, Janvier — Juin 1915. — Pp. 302—305. — [1]

[slyusar-2] а ^б Слюсар В. И. Фрактальные антенны. // Радиоаматор. — 2002. — № 9. — С. 54 -56., Конструктор. — 2002. — № 8. — С. 6 — 8. [2]

[3] Вишневский В. М., Ляхов А. И., Портной С. Л., Шахнович И. В. Широкополосные беспроводные сети передачи информации. — М.: Техносфера. — 2005.- C. 498—569. [3]

[ornament-4] а ^б The grammar of ornament. Day and Son, London. — 1856. [4]

[5] Conversano Elisa, Tedeschini Lalli Laura. Sierpinsky triangles in stone, on medieval floors in Rome.// Aplimat — Journal of Applied Mathematics. Volume 4 (2011), Number 4. — P. 113—122. — [5]

[6] Paola Brunori, Paola Magrone, and Laura Tedeschini Lalli. Imperial Porphiry and Golden Leaf: Sierpinski Triangle in a Medieval Roman Cloister.//ICGG 2018 — Proceedings of the 18th International Conference on Geometry and Graphics. — Pp. 595—609. -[6]

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

@@ Рядок 1: / Рядок 1: @@
+{{unibox}}'''Трикутник Серпінського'''&nbsp;— [[фрактал]], один із двовимірних аналогів&nbsp;[[Множина Кантора|множини Кантора]]. Його математичний опис був запропонований польським математиком [[Вацлав Серпінський|Вацлавом Серпінським]] в 1915 році<ref>W. Sierpinski, Sur une courbe dont tout point est un point de ramification.//Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences.&nbsp;— Paris.&nbsp;— Tome 160, Janvier&nbsp;— Juin 1915.&nbsp;— Pp. 302—305.&nbsp;— [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k31131]</ref>. Цей трикутник є одним з найбільш ранніх прикладів фракталів, відомих з [[середньовіччя]].
-[[Файл:Fractal serp.png|right|thumb|200|Трикутник Серпінського]]
-'''Трикутник Серпінського''' — [[фрактал]], один із двовимірних аналогів [[Множина Кантора|множини Кантора]]. Його математичний опис був запропонований польським математиком [[Вацлав Серпінський|Вацлавом Серпінським]] в 1915 році<ref>W. Sierpinski, Sur une courbe dont tout point est un point de ramification.//Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. - Paris. – Tome 160, Janvier - Juin 1915. - Pp. 302 – 305. - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k31131]</ref>. Цей трикутник є одним з найбільш ранніх прикладів фракталів, відомих з [[середньовіччя]].
 Даний фрактал відносять до фракталів, які отримують поетапним вилученням частин генератора, тобто до геометричних. Також відомий як «серветка» або «решітка» Серпінського.
@@ Рядок 7: / Рядок 6: @@
 == Побудова ==
-[[Файл:Building Serpinski triangle.jpg|thumb|300|Побудова трикутника Серпінського]]
+[[Файл:Sierpinski triangle evolution.svg|thumb|300|Побудова трикутника Серпінського]]
 [[Файл:Anagni_katedrala_04.JPG|thumb|Мозаїчна підлога у стилі [[косматеско]] у [[Собор Ананьї|Кафедральному соборі Св. Марії в Ананьї]]]]
 Існує дуже багато способів побудови трикутника Серпінського, їх можна поділити на такі типи:
 * Геометричні методи;
 * Метод ігор;
 * Трикутник Серпінського як результат перетворення [[Трикутник Паскаля|трикутника Паскаля]];
-* Аналітичне задання фракталів з допомогою комплексних чисел;
+* Аналітичне задання фракталів з допомогою [[Комплексне число|комплексних чисел]];
 * Задання фракталів за допомогою систем ітерованих функцій;
 * Побудова через кола, круги та ін.;
+Найпростішим способом побудови є такий: Береться рівносторонній трикутник. На першому кроці видаляється трикутник з вершинами в середині сторін початкового трикутника. На другому кроці аналогічні трикутники із трьох менших трикутників, які залишилися після першого кроку, і&nbsp;т.&nbsp;д.<ref name="slyusar">Слюсар В.&nbsp;И.&nbsp;Фрактальные антенны. // Радиоаматор.&nbsp;— 2002.&nbsp;— №&nbsp;9.&nbsp;— С. 54 -56., Конструктор.&nbsp;— 2002.&nbsp;— №&nbsp;8.&nbsp;— С. 6&nbsp;— 8. [http://slyusar.kiev.ua/ra0209_SLYUSAR.pdf]</ref> Після нескінченного повторення цієї процедури, від суцільного трикутника залишається підмножина&nbsp;— трикутник Серпінського.
-Найпростішим способом побудови є такий:
-Береться рівносторонній трикутник. На першому кроці видаляється трикутник з вершинами в середині сторін початкового трикутника. На другому кроці аналогічні трикутники із трьох менших трикутників, які залишилися після першого кроку, і т. д.<ref name="slyusar">Слюсар В.И. Фрактальные антенны. // Радиоаматор. – 2002. - № 9. – С. 54 -56., Конструктор. – 2002. - № 8. – С. 6 - 8. [http://slyusar.kiev.ua/ra0209_SLYUSAR.pdf]</ref>  Після нескінченного повторення цієї процедури, від суцільного трикутника залишається підмножина — трикутник Серпінського.
 == Властивості ==
 * Трикутник Серпінського [[замкнута множина|замкнутий]].
 * Трикутник Серпінського має [[топологічна розмірність|топологічну розмірність]] 1.
-* “Площа”  трикутного килима Серпінського дорівнює нулю.
+* «Площа»  трикутного килима Серпінського дорівнює нулю.
-* Важливою властивістю трикутника Серпінського є його самоподібність, адже він складається з трьох своїх копій, зменшених вдвічі.
+* Важливою властивістю трикутника Серпінського є його [[самоподібність]], адже він складається з трьох своїх копій, зменшених вдвічі.
 * Має [[розмірність Хаусдорфа]] <math>=\ln3/\ln2\approx 1,585</math>. Зокрема,
 ** має нульову [[міра Лебега|міру Лебега]].
 == Цікаві факти ==
+[[Файл:Musée-Arles-Mosaïques-Orphée.jpg|right|thumb|200|Римська мозаїка 3 — 4 століття в античному музеї міста [[Арль]], [[Франція]]]]
 * Якщо в [[трикутник Паскаля|трикутнику Паскаля]] всі непарні числа пофарбувати в чорний колір, а парні — в білий, то утворюється трикутник Серпінського.
 * Утворення, схожі на трикутник Серпінського, виникає в [[Життя (гра)|грі Життя]] з довгої вертикальної лінії.
 * Трикутник Серпінського — це множина тих точок вихідного трикутника що не належать жодному з центральних трикутників довільного рангу, тобто нескінченність, що складається з тих точок, що не відкидаються ні на якому з цих етапів.
-* Зображення трикутника Серпінського у 1919 р. стали мотивом кількох графічних творів відомого українського графіка [[Нарбут Георгій Іванович|Георгія Нарбута]]
+* Зображення трикутника Серпінського у 1919 р. стали мотивом кількох графічних творів відомого українського графіка [[Нарбут Георгій Іванович|Георгія Нарбута]]
 * Варіації на тему трикутника Серпінського використані в оздобленні [[інтер'єр]]у [[Бен-Езра (синагога)|синагоги Бен-Езра]], [[Каїр]], [[Єгипет]]
-* На основі трикутника Серпінського можуть бути виготовлені багатодіапазонні [[фрактальна антена|фрактальні антени]].<ref name="slyusar" /><ref>Вишневский В. М., Ляхов А. И., Портной С. Л., Шахнович И. В. Широкополосные беспроводные сети передачи информации. — М.: Техносфера. — 2005.- C. 498—569. [http://slyusar.kiev.ua/slyusar_broadband.djvu] </ref>
+* На основі трикутника Серпінського можуть бути виготовлені багатодіапазонні [[фрактальна антена|фрактальні антени]].<ref name="slyusar" /><ref>Вишневский В. М., Ляхов А. И., Портной С. Л., Шахнович И.&nbsp;В.&nbsp;Широкополосные беспроводные сети передачи информации.&nbsp;— М.: Техносфера.&nbsp;— 2005.- C. 498—569. [http://slyusar.kiev.ua/slyusar_broadband.djvu] </ref>
-* Чотири перші ітерації [[фрактал]]ьних трикутників Серпінського присутні в [[орнамент]]ах геометричної мозаїки стиля [[косматеско]] в середньовічних [[Собор (храм)|собор]]ах [[Італія|Італії]] (з XII століття)<ref name="ornament">The grammar of ornament. Day and Son, London. - 1856. [https://archive.org/details/grammarornament00Jone/page/n103/]</ref><ref>Conversano Elisa,  Tedeschini Lalli Laura. Sierpinsky triangles in stone, on medieval floors in Rome.// Aplimat – Journal of Applied Mathematics. Volume 4 (2011), Number 4. – P. 113 – 122. - [https://www.researchgate.net/publication/259341701_SIERPINSKY_TRIANGLES_IN_STONE_ON_MEDIEVAL_FLOORS_IN_ROME]</ref><ref>Paola Brunori, Paola Magrone, and Laura Tedeschini Lalli. Imperial Porphiry and Golden Leaf: Sierpinski Triangle in a Medieval Roman Cloister.//ICGG 2018 - Proceedings of the 18th International Conference on Geometry and Graphics. – Pp. 595 – 609. -[https://doi.org/10.1007/978-3-319-95588-9_49]</ref>, арабських та [[Персія|перських]] [[інтер'єр]]ах<ref name="ornament" />.
+* Чотири перші ітерації [[фрактал]]ьних трикутників Серпінського присутні в [[орнамент]]ах геометричної мозаїки стиля [[косматеско]] в середньовічних [[Собор (храм)|соборах]] [[Італія|Італії]] (з XII століття)<ref name="ornament">The grammar of ornament. Day and Son, London.&nbsp;— 1856. [https://archive.org/details/grammarornament00Jone/page/n103/]</ref><ref>Conversano Elisa, Tedeschini Lalli Laura. Sierpinsky triangles in stone, on medieval floors in Rome.// Aplimat&nbsp;— Journal of Applied Mathematics. Volume 4 (2011), Number 4.&nbsp;— P. 113—122.&nbsp;— [https://www.researchgate.net/publication/259341701_SIERPINSKY_TRIANGLES_IN_STONE_ON_MEDIEVAL_FLOORS_IN_ROME]</ref><ref>Paola Brunori, Paola Magrone, and Laura Tedeschini Lalli. Imperial Porphiry and Golden Leaf: Sierpinski Triangle in a Medieval Roman Cloister.//ICGG 2018&nbsp;— Proceedings of the 18th International Conference on Geometry and Graphics.&nbsp;— Pp. 595—609. -[https://doi.org/10.1007/978-3-319-95588-9_49]</ref>, арабських та [[Персія|перських]] [[інтер'єр]]ах<ref name="ornament" />.
 == Див. також ==
 * [[Килим Серпінського]]
+* [[Піраміда Серпінського]]
 == Примітки ==
@@ Рядок 47: / Рядок 45: @@
 == Література ==
-* [https://archive.org/details/grammarornament00Jone/page/n103/ Jones, O. The grammar of ornament. Day and Son, London. - 1856.]
+* [https://archive.org/details/grammarornament00Jone/page/n103/ Jones, O. The grammar of ornament. Day and Son, London. — 1856.]
 * Абачиев С. К. О треугольнике Паскаля, простых делителях и фрактальных структурах // В мире науки, 1989, № 9.
 {{Бібліоінформація}}
@@ Рядок 56: / Рядок 54: @@
 [[Категорія:Фрактали]]
 [[Категорія:Топологічні простори]]
-[[Категорія:Наука Польщі]]
+[[Категорія:Наука в Польщі]]
 [[Категорія:Трикутники|Серпінського]]
+[[Категорія:Факторіали і біноміальні коефіцієнти]]

Словники та енциклопедії	Encyclopædia Britannica
Довідкові видання	Namuwiki
Нормативний контроль	Freebase: /m/07bdy · GND: 4267564-9

п о р Фрактали
Характеристики	Фрактальна розмірність (Розмірність Гаусдорфа · Розмірність Лебега) · Рекурсія · Самоподібність
Найпростіші фрактали	Папороть Барнслі · Множина Кантора · Крива дракона · Крива Коха · Губка Менгера · Килим Серпінського · Крива Серпінського · Піраміда Серпінського · Трикутник Серпінського · Крива Пеано · Сітка Аполлонія
Дивний атрактор	Мультифрактал
L-система	Крива, що заповнює простір
Біфуркаційні фрактали	Множина Жуліа · Фрактал Ляпунова · Множина Мандельброта · Басейни Ньютона
Випадкові фрактали	Броунівський рух · Броунівське дерево · Фрактальний ландшафт · Теорія протікання
Люди	Георг Кантор · Фелікс Гаусдорф · Гастон Жуліа · Гельґе фон Кох · Поль Леві · Олександр Ляпунов · Бенуа Мандельброт · Льюїс Річардсон · Вацлав Серпінський
Пов'язані теми	«Яка довжина узбережжя Великої Британії?» (Парадокс берегової лінії)

п о р Трикутник
Види трикутників	Прямокутний Рівнобедрений Рівносторонній Рівнобедрений прямокутний
Чудові лінії в трикутнику	Медіана Висота Бісектриса Серединний перпендикуляр Середня лінія Описане коло Вписане коло Пряма Сімсона Лінія Ейлера Симедіана Чевіана Гіпербола Кіперта
Чудові точки трикутника	Ортоцентр Центроїд Інцентр Точка Аполлонія Точки Аполлонія Точки Брокара Точки Вектена Точка Жергонна Точка Лемуана Точка Мікеля Точка Наґеля Точки Наполеона Точка Паррі Точки Торрічеллі Центр кола дев'яти точок Центр Шпікера Енциклопедія центрів трикутника
Основні теореми	Нерівність трикутника Подібність трикутників Розв'язування трикутників Теорема про зовнішній кут трикутника Теорема про суму кутів трикутника Теорема Піфагора Теорема косинусів Теорема синусів Теорема про проєкції Формула Герона
Додаткові теореми	Теорема ван Обеля Теорема Менелая Теорема Ройшле (Теркема) Теорема Стюарта Теорема тангенсів Теорема котангенсів Теорема Чеви Формули Мольвейде
Узагальнення	Сферичний трикутник Гіперболічний трикутник Симплекс
Інше	Трикутник Рело Трикутник Серпінського

Трикутник Серпінського: відмінності між версіями

Поточна версія на 05:03, 14 червня 2024

Зміст

Побудова

Властивості

Цікаві факти

Див. також

Примітки

Література

Навігаційне меню

Трикутник Серпінського: відмінності між версіями

Поточна версія на 05:03, 14 червня 2024

Побудова

Властивості

Цікаві факти

Див. також

Примітки

Література

Навігаційне меню

Пошук