Квадратриса
Квадратриса — плоска трансцендентна крива, що визначається кінематично. Винайдена софістом Гіппієм (V століття до н. е.), використовувалась в античні часи для розв'язання задач квадратури круга та трисекції кута.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/uk/thumb/3/3b/Quadratrix_trisection.png/200px-Quadratrix_trisection.png)
Розглянемо квадрат (рис. 1), в який вписано сектор чверті круга. Нехай точка рівномірно рухається по дузі від точки до точки ; одночасно відрізок рівномірно рухається з позиції в позицію . Нарешті, вимагатимемо, щоб обидва рухи завершилися одночасно. Тоді точка перетину радіуса та відрізка опише квадратрису (позначена червоним).
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7a/Quadratrix_animation.gif/200px-Quadratrix_animation.gif)
Виведення |
---|
Виведемо рівняння квадратриси у полярних координатах. Нехай — радіус кола, — поточний кут , — полярний радіус. Для зручності введемо час , який за період руху зміняватиметься з 0 до 1. Тоді рівномірний рух точки по дузі довжиною можна виразити рівнянням:
Рівномірний рух відрізка виразиться рівнянням: Виключаючи з рівнянь , отримаємо остаточно: |
- в прямокутних координатах можна записати рівняння квадратриси в наступному вигляді:
Виведення |
---|
Приводимо рівняння в полярних координатах до наступного стану:
Врахувавши , отримаємо Із геометричних міркувань: . Тоді рівняння постане у вигляді: Беремо тангенс обох частин: тобто |
Трисекція кута, тобто поділ довільного кута на три рівні частини, за допомогою квадратриси здійснюється елементарно. Нехай (рис. 1) — деякий кут, третину якого треба побудувати. Алгоритм поділу наступний:
- Знаходимо точку на квадратрисі і її ординату .
- Відкладаємо на відрізку його третю частину; отримаємо точку .
- Знаходимо на квадратрисі точку з ординатою .
- Проводимо промінь . Кут — шуканий.
Доведення даного алгоритму витікає з рівномірності обох рухів, що утворюють квадратрису.
Очевидно також, що аналогічними діями можна поділити кут на будь-яке число рівних частин.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a7/Squaring_the_circle.svg/200px-Squaring_the_circle.svg.png)
Тут завдання ставиться таким чином: побудувати квадрат з такою самою площею, як у заданого круга радіуса . Алгебраїчно це означає рішення рівняння : .
Побудуємо для початкового круга квадратрису, як на рис. 1. Можна показати, що абсциса її нижньої точки дорівнює . Відобразимо це у вигляді пропорції: , де — довжина кола. Наведене співвідношення дозволяє побудувати відрізок довжини . Прямокутник із сторонами і буде мати потрібну площу, а побудувати рівновеликий йому квадрат — справа неважка.
- Quadratrix of Hippias [Архівовано 4 лютого 2012 у Wayback Machine.] на MacTutor archive.
- Quadratrix of Hippias на Convergence.