Евольвента
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/6e/Involute.gif)
Евольвента (від лат. evolvens — що розгортає) плоскої лінії — це лінія , по відношенню до якої є еволютою. Іншими словами, це крива, що описується кінцем гнучкої нерозтяжної нитки закріпленої в деякій точці, що змотується з плоскої кривої.
Якщо лінія задана рівнянням ( — параметр довжини кривої), то рівняння властивості її евольвенти має вигляд
- ,
де — довільний параметр.
Для параметрично заданої кривої рівняння евольвенти
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/88/Animated_involute_of_circle.gif/300px-Animated_involute_of_circle.gif)
Евольвентою кола є спіралеподібна крива, котра описується кінцем гнучкої нерозтяжної нитки, що змотується з кола заданого радіуса. Рівняння евольвенти кола мають вигляд:
де — кут положення на колі точки дотику нитки до кола, a — радіус кола.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bc/Evolvent_of_circle.svg/300px-Evolvent_of_circle.svg.png)
Задане коло з діаметром , з центром в точці . Дане коло ділимо на дванадцять рівних частин. В точках 2, 3, 4. проводимо дотичні до кола, спрямовані в один бік. Точки евольвенти знаходимо виходячи з того, що при розгортанні кола точка , повинна розміщатись від точки 2 на відстані, рівній довжині дуги між точками 1 і 2, а точка , повинна розміщатись від точки 3 на відстані, рівній довжині дуги між точками 1 і 3 (дві довжини попередньої дуги), і так далі
Точне розташування точок евольвенти отримаємо, відкладаючи по дотичних довжини відповідних дуг. Довжину дуги між точками 1 і 2 визначається за формулою
де — діаметр кола; — число частин, на яке розділено коло.
Отримавши низку точок евольвенти сполучаємо їх плавною лінією.
В даному випадку коло з діаметром є еволютою до цієї евольвенти.
У техніці форму евольвенти кола мають:
- профіль зуба для коліс зубчастої передачі;
- форма кожуха радіального вентилятора;
- вихори потоків у циклонах та ін.
У системах автоматизованого проектування іноді використовують кубічні криві Безьє для наближеного опису евольвентних кривих у евольвентних зачепленнях.[1][2]
- ↑ Higuchi, Fumitaka; Gofuku, Shuuichi; Maekawa, Takashi; Mukundan, Harish; Patrikalakis, Nicholas M. (1 вересня 2007). Approximation of involute curves for CAD-system processing. Engineering with Computers (англ.). Т. 23, № 3. с. 207—214. doi:10.1007/s00366-007-0060-3. ISSN 1435-5663. Процитовано 12 лютого 2023.
- ↑ Gear Drawing with Bézier Curves. www.arc.id.au. Процитовано 12 лютого 2023.
- Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)
- Weisstein, Eric W. Евольвента(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.