Сітка Аполлонія
Сітка Аполлонія | |
![]() | |
Названо на честь | Аполлоній Перзький |
---|---|
Наступник | Apollonian sphere packingd |
Підтримується Вікіпроєктом | Вікіпедія:Проєкт:Математика |
![]() |
Сітка Аполлонія — фрактал, що будується за трьома колами, які попарно дотикаються. Являє собою граничну множину різноманітних послідовностей кіл, кожна з яких дотикається до трьох вже побудованих. Названа на честь грецького математика Аполлонія Перзького.
Почнемо з трьох кіл, кожне з яких є дотичним до двох інших. Далі рекурсивно додамо до наявної фігури кола, кожне з яких дотикається будь-яких трьох вже побудованих кіл. На першому кроці ми додамо два, на другому шість і так далі.
Продовжуючи побудову, ми додаємо 2·3n нових кіл на n-ому кроці.
Замикання побудованих кіл називається сіткою Аполлонія.
- Сітка Аполлонія має розмірність Гаусдорфа близько 1,3057[1].
- Сітку Аполлонія можна подати як об'єднання двох підмножин, гомеоморфних трикутнику Серпінського, зі спільними вершинами.
- Підгрупа групи перетворень Мебіуса, що складається з таких перетворень, які переводять сітку Аполлонія в себе, діє транзитивно на колах сітки.
- Сітку Аполлонія можна визначити як граничну множину групи перетворень площини утвореної інверсіями в чотирьох попарно дотичних колах.
Кривина кола визначається як обернене до його радіусу.
- Від'ємна кривина вказує на те, що всі інші кола дотикаються до цього кола зсередини. Це обмежувальне коло.
- Нульова кривина дає пряму (коло з нескінченним радіусом).
- Додатна кривина вказує на те, що всі інші кола дотикаються до цього кола зовні. Це коло знаходиться всередині кола з від'ємною кривиною.
В сітці Аполлонія всі кола мають додатну кривину, крім одного, обмежувального кола.
Нехай позначають кривини чотирьох попарно дотичних кіл. За теоремою Декарта:
Звідси випливає, що якщо чотири кола, що попарно дотикаються, мають цілі кривини, то й всі інші кола в їх сітці Аполлонія мають цілі кривини. Є нескінченно багато таких цілих сіток. [2] Нижче наведено декілька цілих сіток з позначеними кривинами кіл.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/95/Apollonian_spheres.jpg/220px-Apollonian_spheres.jpg)
- Тривимірний еквівалент сітки Аполлонія - Аполлонієве пакування сфер.
- ↑ Curtis T. McMullen. Hausdorff Dimension and Conformal Dynamics, III: Computation of Dimension // American Journal of Mathematics. — 1998. — Т. 120. — С. 691-721. — DOI:10.1353/ajm.1998.0031.
- ↑ Ronald L. Graham, Jeffrey C. Lagarias, Colin M. Mallows, Alan R. Wilks, and Catherine H. Yan; "Apollonian Circle Packings: Number Theory" J. Number Theory, 100 (2003), 1-45