Клотоїда

Клотоїда

Клотоїда, Спіраль Корню або Спіраль Ейлера — крива, в якої кривина змінюється лінійно як функція від довжини дуги.

$1/R\sim L\Leftrightarrow R\cdot L=\mathrm {const}$

Історія

Клотоїда використовувалася Корню для полегшення обрахунку дифракції в прикладних задачах.

Використання

Клотоїда використовується як перехідна дуга при будівництві доріг. Коли ділянка дороги має форму клотоїди, кермо повертається рівномірно. Така форма дороги дозволяє здійснювати поворот без суттєвого зниження швидкості.

Властивості

• Параметрично клотоїда може бути представлена через інтеграли Френеля:

$x(t)=aC(t)=a\int _{0}^{t}\cos u^{2}\,du,$

$y(t)=aS(t)=a\int _{0}^{t}\sin u^{2}\,du.$

• Клотоїда має нескінченну довжину.
• Симетрична відносно початку координат.

Якщо коефіцієнт $a$ дорівнює одиниці:

• Довжина відрізка кривої від нуля до $t$ дорівнює $t$.
• Кривина змінюється лінійно від $0$ до $2t$.
• Кут повороту дотичної до кривої на відрізку від нуля до $t$ дорівнює $t^{2}$ радіан.

Інтернет-ресурси

• Weisstein, Eric W. Cornu Spiral(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Euler's spiral at 2-D Mathematical Curves
• Interactive example with JSXGraph